Fibonacci-Rechner

Die Fibonacci-Folge ist eine Art Reihe, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist. Es beginnt normalerweise bei 0 und 1. Die Fibonacci-Folge ist durch 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 usw. gegeben. Die Zahlen der Fibonacci-Folge werden auch Fibonacci-Zahlen genannt . In der Mathematik wird eine Folge als eine geordnete Liste von Zahlen definiert, die einem bestimmten Muster folgt. Zahlen, die in einer Folge vorkommen, werden Terme genannt. Die verschiedenen Arten von Folgen sind arithmetische, geometrische, harmonische und Fibonacci-Folgen. In diesem Artikel werden wir die Definition, Formeln, Listen und Beispiele der Fibonacci-Folge im Detail besprechen.

Was sind Fibonacci-Zahlen?

Die Fibonacci-Folge, auch Fibonacci-Zahlen genannt, ist als eine Folge von Zahlen definiert, bei der jede Zahl in der Folge gleich der Summe der beiden Zahlen davor ist. Die Fibonacci-Folge lautet wie folgt:

Fibonacci-Folge = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....

Hier wird der dritte Term „1“ durch Addition des ersten und zweiten Termes erhalten. (d. h. 0+1 = 1)

Ähnlich,

„2“ wird durch Addition des zweiten und dritten Termes ermittelt (1+1 = 2)

„3“ wird durch Addition des dritten und vierten Termes (1+2) usw. ermittelt.

Beispielsweise kann das nächste Element nach 21 gefunden werden, indem man 13 und 21 addiert. Daher ist das nächste Element in der Reihenfolge 34.

Fibonacci-Folgenformel

Die Fibonacci-Folge „F  n  “ wird mithilfe einer rekursiven Beziehung mit den Startwerten F  0  =0 und F  1  =1 definiert:

F  n  = F  n-1  + F  n-2

Hier wird die Sequenz mithilfe von zwei verschiedenen Teilen definiert, z. B. der Initiierungsbeziehung und der Rekursionsbeziehung.

Der Kickoff-Teil ist F  0  =0 und F  1  =1.

Der rekursive Beziehungsteil ist F  n  = F  n-1  +F  n-2 .

Beachten Sie, dass die Sequenz bei 0 und nicht bei 1 beginnt. Daher sollte F  5 das 6. Element der Sequenz sein .

Die Liste der ersten 20 Begriffe in der Fibonacci-Folge ist:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

Die Fibonacci-Folge wird wie folgt berechnet:

˚F  ñ	Fibonacci-Zahlen
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	einundzwanzig
9	34
… usw.	… usw.

Die Fibonacci-Folge steht in engem Zusammenhang mit dem Wert des Goldenen Schnitts. Wir wissen, dass der Wert des Goldenen Schnitts ungefähr 1,618034 beträgt. Dargestellt durch das Symbol „φ“. Wenn wir das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nehmen, liegt das Verhältnis nahe am Goldenen Schnitt. Beispielsweise sind 3 und 5 zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Das Verhältnis von 5 zu 3 beträgt:

5/3 = 1,6666

Nimmt man ein anderes Zahlenpaar, beispielsweise 21 und 34, ergibt sich für das Verhältnis von 34 und 21:

34/21 = 1,619

Das heißt, wenn dieses Fibonacci-Zahlenpaar einen größeren Wert hat, liegt das Verhältnis sehr nahe am Goldenen Schnitt.

Daher können wir mit Hilfe des Goldenen Schnitts die Fibonacci-Zahlen in der Folge finden.

Die Formel zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen anhand des Goldenen Schnitts lautet:

X  n  = [φ  n  – (1-φ)  n  ]/√5

Wo,

φ ist der Goldene Schnitt, der ungefähr 1,618 beträgt

n ist der n-te Term der Fibonacci-Folge.

Beispiel für die Lösung einer Fibonacci-Folge

Beispiel 1:

Wenn n=5, verwenden Sie die rekursive Beziehung, um die Fibonacci-Zahl zu ermitteln.

Lösung:

Die Formel zur Berechnung der Fibonacci-Folge lautet: F  n  = F  n-1  + F  n-2

Nehmen Sie: F  0  =0 und F  1  =1

Mit der Formel erhalten wir

F  2  = F1+F0 = 1+0 = 1

F  3  = F2+F1 = 1+1 = 2

F  4  = F3+F2 = 2+1 = 3

F  5  = F4+F3 = 3+2 = 5

Daher ist die Fibonacci-Zahl 5.

Beispiel 2:

Wenn n=6, verwenden Sie den Goldenen Schnitt, um die Fibonacci-Zahlen zu ermitteln.

Lösung:

Die Formel zur Berechnung der Fibonacci-Zahlen mithilfe des Goldenen Schnitts lautet X  n  = [φ  n  – (1-φ)  n  ]/√5

Wir wissen, dass φ ungefähr 1,618 beträgt.

n= 6

Wenn wir nun die Werte in der Formel ersetzen, erhalten wir

X  n  = [φ  n  – (1-φ)  n  ]/√5

X  6  = [1,618  6  – (1-1,618)  6  ]/√5

X  6  = [17,942 – (0,618)  6  ]/2,236

X  6  = [17,942 – 0,056]/2,236

X  6  = 17,886/2,236

X  6  = 7,999

X  6  = 8 (gerundeter Wert)

Wenn n=6, beträgt die Fibonacci-Zahl in der Folge 8.

	Search