Tschebyscheffs Theorem-Rechner
Der Chebyshev-Theorem-Rechner ist ein leistungsstarkes Tool, das dabei helfen kann, den Anteil der Datenpunkte abzuschätzen, die innerhalb einer bestimmten Standardabweichung vom Mittelwert liegen.
| k (Standardabweichung) | Mindestprozentsatz im Bereich | Beispieldatensatz (μ = 50, σ = 10) | Intervall [μ – kσ, μ + kσ] |
|---|---|---|---|
| 1 | 0% | [40, 60] | [50 – 1 10, 50 + 1 10] = [40, 60] |
| 1,5 | 55,56 % | [35, 65] | [50 – 1,5 10, 50 + 1,5 10] = [35, 65] |
| 2 | 75 % | [30, 70] | [50 – 2 10, 50 + 2 10] = [30, 70] |
| 2,5 | 84 % | [25, 75] | [50 – 2,5 10, 50 + 2,5 10] = [25, 75] |
| 3 | 88,89 % | [20, 80] | [50 – 3 10, 50 + 3 10] = [20, 80] |
| 3,5 | 91,84 % | [15, 85] | [50 – 3,5 10, 50 + 3,5 10] = [15, 85] |
| 4 | 93,75 % | [10, 90] | [50 – 4 10, 50 + 4 10] = [10, 90] |
| 4,5 | 95,11 % | [5, 95] | [50 – 4,5 10, 50 + 4,5 10] = [5, 95] |
| 5 | 95,84 % | [0, 100] | [50 – 5 10, 50 + 5 10] = [0, 100] |
| 5,5 | 96,44 % | [-5, 105] | [50 – 5,5 10, 50 + 5,5 10] = [-5, 105] |
| 6 | 97,22 % | [-10, 110] | [50 – 6 10, 50 + 6 10] = [-10, 110] |
| 6,5 | 97,78 % | [-15, 115] | [50 – 6,5 10, 50 + 6,5 10] = [-15, 115] |
| 7 | 98,00 % | [-20, 120] | [50 – 7 10, 50 + 7 10] = [-20, 120] |
| 7,5 | 98,56 % | [-25, 125] | [50 – 7,5 10, 50 + 7,5 10] = [-25, 125] |
| 8 | 98,75 % | [-30, 130] | [50 – 8 10, 50 + 8 10] = [-30, 130] |
Formel des Satzes von Tschebyscheff
Der Kern von Chebyshevs Theorem wird in einer prägnanten und kraftvollen Formel ausgedrückt :
P(|X - μ| ≤ kσ) ≥ 1 - (1/k²)
In:
- P steht für Wahrscheinlichkeit
- X ist eine Zufallsvariable
- μ (mu) stellt den Durchschnittswert dar
- σ (Sigma) stellt die Standardabweichung dar
- k ist die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert
Mit dieser Formel können wir k Standardabweichungen aus dem Mittelwert der Datenpunkte innerhalb der kleinsten Skala berechnen .
Wenn wir den Anteil der Daten innerhalb von 2 Standardabweichungen wissen möchten :
P(|X - μ| ≤ 2σ) ≥ 1 - (1/2²) = 1 - (1/4) = 3/4 = 75%
Unabhängig von der Form der Verteilung, bei der mindestens 75 % der Daten innerhalb von 2 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen ,
Wie berechnet man den Satz von Tschebyschew?
- Bestimmen Sie k : Bestimmen Sie die Anzahl der zu berücksichtigenden Standardabweichungen des Mittelwerts
- Wenden Sie die Formel an : Setzen Sie k in Gleichung 1 ein – (1/k²).
- Interpretieren Sie die Ergebnisse : Die Ergebnisse stellen die kleinsten k Standardabweichungen der Daten innerhalb der Skala dar .
Angenommen, wir möchten die kleinsten drei Standardabweichungen vom Mittelwert der Daten innerhalb einer Skala ermitteln .
- k=3
- 1 – (1/k²) = 1 – (1/3²) = 1 – (1/9) ≈ 0,8889
- Erläuterung : Mindestens 88,89 % der Daten liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert
Wie berechnet man das 75 % Tschebyscheff-Intervall?
Das Tschebyscheff-Intervall besteht darin, das Intervall zu finden, das mindestens 75 % der Daten enthält
- Stellen Sie die Ungleichung ein : 1 – (1/k²) ≥ 0,75
-
Nach k auflösen :
- (1/k²) ≤ 0,25
- k² ≥ 4
- k ≥ 2
- Erläuterung : Das Intervall [μ – 2σ, μ + 2σ] enthält mindestens 75 % der Daten.
Nehmen wir als konkretes Beispiel an, dass der Mittelwert des Datensatzes 100 und die Standardabweichung 15 beträgt:
- Untere Grenze : 100 – (2 * 15) = 70
- Obergrenze : 100 + (2 * 15) = 130
Daher liegen mindestens 75 % der Datenpunkte zwischen 70 und 130 .
Was sind nach der Tschebyscheff-Regel mindestens 75 %?
Nach der Tschebyscheff-Regel liegen mindestens 75 % der Daten in jeder Verteilung innerhalb von 2 Standardabweichungen vom Mittelwert . Dies ist eine entscheidende Erkenntnis für die Analyse von Datensätzen, bei denen die Form der Verteilung unbekannt oder nicht normal ist
Bei der Mitarbeiterzufriedenheitsumfrage eines Unternehmens liegen die Werte zwischen 1 und 10 :
- Durchschnittliche Punktzahl : 7,5
- Standardabweichung : 1,2
Wir können behaupten, dass mindestens 75 % der Ergebnisse zwischen den folgenden Punkten liegen:
- Untere Grenze : 7,5 – (2 * 1,2) = 5,1
- Obergrenze : 7,5 + (2 * 1,2) = 9,9