Faltungsrechner
Faltungsberechnung
Die Folge y(n) ist gleich der Faltung der Folgen x(n) und h(n):
Für eine endliche Folge x(n) mit M-Werten und h(n) mit H-Werten:
Für N = 0 .. M + H -2
Faltung ist die Korrelationsfunktion zwischen f(τ) und der Umkehrfunktion g(t-τ).
Der Faltungsoperator ist das Sternchen * .
- kontinuierliche Faltung
- diskrete Faltung
- Diskrete 2D-Faltung
- Implementierung des Faltungsfilters
- Faltungssatz
kontinuierliche Faltung
Die Faltung von f(t) und g(t) ist gleich dem Integral von f(τ) mal f(t-τ):
diskrete Faltung
Die Faltung zweier diskreter Funktionen ist definiert als:
Diskrete 2D-Faltung
In der Bildverarbeitung wird häufig die zweidimensionale diskrete Faltung verwendet.
Implementierung des Faltungsfilters
Wir können das diskrete Eingangssignal x(n) durch Faltung mit der Impulsantwort h(n) filtern, um das Ausgangssignal y(n) zu erhalten.
y ( n ) = x ( n ) * h ( n )
Faltungssatz
Die Fourier-Transformation der Multiplikation zweier Funktionen entspricht der Faltung der Fourier-Transformation jeder Funktion:
ℱ{ f ⋅ g } = ℱ{ f } * ℱ{ g }
Die Fourier-Transformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformation jeder Funktion:
ℱ{ f * g } = ℱ{ f } ⋅ ℱ{ g }
Der Faltungssatz der kontinuierlichen Fourier-Transformation
ℱ{ f ( t ) ⋅ g ( t )} = ℱ{ f ( t )} * ℱ{ g ( t )} = F ( ω ) * G ( ω )
ℱ{ f ( t ) * g ( t )} = ℱ{ f ( t )} ⋅ ℱ{ g ( t )} = F ( ω ) ⋅ G ( ω )
Faltungssatz der diskreten Fourier-Transformation
ℱ{ f ( n ) ⋅ g ( n )} = ℱ{ f ( n )} * ℱ{ g ( n )} = F ( k ) * G ( k )
ℱ{ f ( n ) * g ( n )} = ℱ{ f ( n )} ⋅ ℱ{ g ( n )} = F ( k ) ⋅ G ( k )
Der Faltungssatz der Laplace-Transformation
ℒ{ f ( t ) * g ( t )} = ℒ{ f ( t )} ⋅ ℒ{ g ( t )} = F ( s ) ⋅ G ( s )