Richtungsableitungsrechner

Der Online-Richtungsableitungsrechner bestimmt die Richtungsableitung und den Gradienten einer Funktion an einem bestimmten Punkt eines Vektors. Darüber hinaus zeigt Ihnen dieser kostenlose Rechner Schritt-für-Schritt-Berechnungen für bestimmte Punkte.

Sehen wir uns nun an, wie man mithilfe von Formeln und Beispielen die Richtungsableitung ermittelt.

Was ist eine Richtungsableitung?

In der Mathematik ist es intuitiv, die Richtung einer mehrdimensionalen Differentialfunktion eines gegebenen Vektors v an einem gegebenen Punkt x abzuleiten. Es ist die momentane Änderungsrate einer Funktion, die sich in x mit einer durch v bestimmten Geschwindigkeit bewegt. Daher das verallgemeinerte Konzept der partiellen Ableitungen, bei dem die Änderungsrate mit einer der krummlinigen Koordinatenkurven ermittelt wird. Während alle anderen Koordinaten unverändert bleiben.

(Bilder dienen nur als Referenz)

Richtungsableitungsformel :

Sei f eine Kurve, deren Tangentenvektor an einem ausgewählten Punkt v ist. Richtungsableitungsrechner Finden Sie die Funktion f von p, die durch eine der folgenden Formeln ausgedrückt werden kann:

• $\ ∇_pf（x）$
• $\ f'_p（x）$
• $\ D_pf（x）$
• $\ Df（x）（p）$
• $\∇f（x）$

Daher ist die Richtungsableitung einer Skalarfunktion:

$\ f（x） =\ f（x_1， x_2， ....， x_{n-1}， x_n）$mit Vektor$\ v = （v_1， v_2， ...， v_n）$ist eine Funktion$\ ∇_vf$, die Berechnungsformel lautet

$\ ∇_vf（x） = lim f（x + hv） – f（x）/ h$

Dies ist die Formel, die der Richtungsableitungsrechner verwendet, um die Ableitung einer gegebenen Funktion zu ermitteln.

Gradient:

Der Gradient ∇f ist ein Vektor, der in die Richtung der maximalen Steigung zeigt, und seine Länge ist die Richtungsableitung in diese Richtung. Die Richtungsableitung ist das Skalarprodukt zwischen dem Gradienten und dem Einheitsvektor:

$\ M_uf = ∇f⋅u$

Beispiel für eine Richtungsableitung:

Wenn$\ z=14−x^2−y^2$, sei M=(3,4). Finden Sie die Richtungsableitung von f bei M in den folgenden Richtungen:

• In Richtung Punkt N=(5,6),
• in Richtung ⟨2,−1　, und
• Bewegen Sie sich zum Ursprung.

Antwort:

Punkt M=(3,4) wird auf der x-, y-Ebene ausgedrückt und Punkt (3,4,9) liegt auf der Oberfläche von „f“. Wir finden es mithilfe der Richtungsableitungsformel

fx(x,y)=−2x und fx(3,4)=−2,

f_y(x,y)=−2y und f_y(1,2)=−4

lassen$\vec u_1$1 ist der Einheitsvektor, der vom Punkt (3,4) zum Punkt Q=(3,4) zeigt. Vektor$\vec PQ=（2,2）$Der Vektor in dieser Richtung ist$\vec u_1=（\frac{1}{\sqrt{2}}）$.

Daher ist die Richtungsableitung von f bei (3,4) längs

$\vec u_1\ is\ \vec Du_1\ f（1,2）=−2（\frac{1}{sqrt{2}}）+（−4）（\frac{1}{\sqrt{2}}）=\frac{−6}{\sqrt{2}}≈−4.24$.

Die Änderungsrate eines Objekts, das sich von Punkt (3,4,9) auf der Oberfläche in die folgende Richtung bewegt$\mathbf{u}_1$(zeigt auf Punkt Q) beträgt etwa −4,24.

Wie funktioniert der Richtungsableitungsrechner?

Verwenden Sie diesen Online-Rechner, um die Gradientenpunkte und Richtungsableitungen einer bestimmten Funktion zu ermitteln, indem Sie die folgenden Schritte ausführen:

eingeben:

• Wählen Sie zunächst aus, wie viele Punkte für die Richtung des Vektors benötigt werden.
• Um nun die Richtungsableitung zu ermitteln, geben Sie eine Funktion ein.
• Geben Sie dann die angegebenen Punkt- und Vektorwerte ein.
• Um den Vorgang fortzusetzen, klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.

Ausgabe:

• Der Richtungsableitungsrechner berechnet die Ableitung einer gegebenen Funktion in der Richtung eines gegebenen Vektors.
• Es berechnet den Gradienten, indem es die Ableitung der Funktion nach jeder Variablen bildet.

FAQ:

Was ist ein Richtungsgradient?

Wenn der Gradient der Funktion am Punkt „p“ nicht Null ist, dann ist die Richtung des Gradienten die Richtung, in der die Funktion von p schnell zunimmt, und die Größe des Gradienten ist die Wachstumsrate in dieser Richtung.

Diskutieren Sie den Unterschied zwischen Gradientenableitung und Richtungsableitung?

Die Richtungsableitung ist die Änderungsrate einer Funktion in einer bestimmten Richtung. Der Gradient kann in Formeln verwendet werden, um Richtungsableitungen zu bestimmen. Der Gradient stellt die Richtung der größten Richtungsableitung in einer Funktion mehrerer Variablen dar.

Ist die erste Ableitung ein Gradient?

Die erste Ableitung gibt grundsätzlich die Richtung vor. Mit anderen Worten: Es sagt uns, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Die erste Ableitung kann als momentane Änderungsrate interpretiert werden. Diese Ableitung kann auch als Steigung der Tangente interpretiert werden.

Warum ist die Richtungsableitung wichtig?

In der Mathematik ist es intuitiv, die Richtung einer mehrdimensionalen Differentialfunktion eines gegebenen Vektors v an einem gegebenen Punkt x abzuleiten. Es ist die momentane Änderungsrate der Funktion, die sich in x mit einer durch v bestimmten Geschwindigkeit bewegt. Die Richtungsableitung ist ein Sonderfall der Gateaux-Ableitung.

In welcher Richtung ist die Richtungsableitung am größten?

Wenn Theta θ= 0 ist, hat die Richtungsableitung den größten positiven Wert. Daher stimmt die Richtung des maximalen Anstiegs der Funktion f mit der Richtung des Gradientenvektors überein. Wenn θ = pi (oder 180 Grad), nimmt die Richtungsableitung den größten negativen Wert an.

Können gerichtete Ableitungen negativ sein?

Ja, die Richtungsableitung ist eine Richtungsänderung und kann positiv, negativ oder Null sein. Eine negative Richtungsableitung bedeutet, dass die Funktion in dieser Richtung abnimmt oder in der entgegengesetzten Richtung zunimmt.

Der Online-Richtungsableitungsrechner verallgemeinert partielle Ableitungen zur Bestimmung der Steigung in jede Richtung und berechnet dreidimensionale Ableitungen und Gradienten. Um die Richtungsableitungen und -vektoren zu finden, benötigen Sie ein Stück Millimeterpapier, aber es erhöht auch die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen. Verwenden Sie also diesen kostenlosen Online-Rechner, um die Richtungsableitung zu ermitteln, der Schritt-für-Schritt-Lösungen mit 100 %iger Genauigkeit liefert.