Tangentialebenen-Rechner

Bedingungen für Tangentenebenen:

Die Funktionen, aus denen die Oberfläche besteht, sollten an einem Punkt differenzierbar sein, damit die Ebene dort existieren kann.

Gleichung der Tangentenebene:

Sei S eine durch eine differenzierbare Funktion definierte Fläche$z = f(x,y)$Es sind 2 Variablen beteiligt, und let$P_o = (x_o, y_o)$ist ein Punkt im Bereich von f. Dann ist die Gleichung der Tangentenebene an S bei Po gegeben durch:

$$z = f(x_o,y_o)+f_x(x_o,y_o)(x-x_o)+f_y(x_o,y_o)(y-y_o)$$

Auf ähnlichen Linien die allgemeine Gleichung der Tangentenebene$P_o=(x_o, y_o, z_o)$zu einer Fläche S, die durch eine mathematische Funktion definiert ist$z = f(x,y,z)$gegeben beinhaltet 3 Variablen

$$z = f(x_o, y_o, z_o) + f_x(x_o, y_o, z_o)(x − x_o) + f_y(x_o, y_o, z_o)(y − y_o) + f_z(x_o, y_o, z_o)(z − z_o)$$

Wie finde ich die Gleichung der Tangentenebene?

Sie müssen die Schritte befolgen, die Sie gleich ausführen werden, um die Gleichung der Tangentenebene an der durch die Funktion gegebenen Oberfläche zu finden. Auch dieser Tangentialebenenrechner liefert in kürzester Zeit ähnliche Lösungen.

Voraussetzungen prüfen:

Stellen Sie sicher, dass Sie die mathematische Funktion der Oberfläche und die Koordinaten des Punktes auf dieser Oberfläche haben, an dem Sie die Gleichung berechnen möchten.

Partielle Differentiale lösen:

Dabei wird teilweise zwischen den mathematischen Funktionen der betrachteten Fläche unterschieden. Detaillierte Berechnungen können dem im nächsten Abschnitt gezeigten Beispiel entnommen werden.

Teildifferenzen an einem Punkt berechnen:

Werten Sie eine partielle Differentialfunktion an einem bestimmten Punkt aus, um die Gleichung der Tangentenebene zu finden, wie im nächsten Beispiel gezeigt.

Gelöstes Beispiel:

Das folgende Beispiel veranschaulicht anschaulich, wie Sie mit den oben genannten Schritten die erforderliche Gleichung ermitteln. Auch unser Tangentenebenenrechner folgt dem gleichen Verfahren wie in diesen Beispielen und Sie können in Sekundenschnelle genau die gleichen Ergebnisse erhalten.

Beispiel-1:

Finden Sie die Gleichung der Ebene tangential zur Oberfläche$z=x2+y2$auf den Punkt gebracht$(1,2,5)$.

Lösung :

für Funktionen$f(x,y) = x^2+y^2$, wir haben:

$$fx(x,y) = 2x$$

$$fy(x,y) = 2y$$

Daher gilt die Gleichung der Tangentenebene an diesem Punkt$(1,2,5)$)Ja:

$$2(1)(x−1)+2(2)(y−2)−z+5 = 0$$

$$= 2x+4y−z−5=0$$

Beispiel-2:

Finden Sie die Tangentenebenengleichung der durch die Funktion definierten Oberfläche$f(x,y)=sin(2x)cos(3y)$am Punkt$(W/3, W/4)$.

Lösung:

Zuerst berechnen wir$fx(x,y)$Und$fy(x,y)$Dann berechnen wir die erforderliche Tangentenebenengleichung mithilfe der allgemeinen Gleichung

$z=f(x_o,y_o)+fx(x_o,y_o)(x-x_o)+fy(x_o,y_o)(y-y_o)$Und$XO = \frac{π}{3}$Und$y=\frac{π}{4}$:

$$f_x(x,y) = 2cos(2x)cos(3y)$$

$$f_y(x,y) = −3sin(2x)sin(3y)$$

$$F(\frac{π}{3},\frac{π}{4}) = sin(2(\frac{π}{3}))cos(3(\frac{π}{4})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{-\sqrt{2}}{2}) = \frac{-\sqrt{6}}{2}$$

$$f_x(\frac{π}{3},\frac{π}{4}) = 2cos(2(\frac{π}{3}))cos(3(\frac{π}{4})) = 2(\frac{-1}{2})( \frac{-√2}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$f_y(\frac{π}{3},\frac{π}{4}) = 2\sqrt{2} − 3sin(2(\frac{π}{3}))sin(3(\frac{π }{4})) = −3(3\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = −36\sqrt{4}$$

现在，我们将在一般方程式中代入这些值：

$$Z = f(x_o,y_o) + f_x(x_o,y_o)(x−x_o) + f_y(x_o,y_o)(y−yo_)$$

$$z = −6\sqrt{4} + 2\sqrt{2} (x − \frac{π}{3}) − 36√4 (y − \frac{π}{4})$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}x − \frac{（3\sqrt{6}）}{4}y − \frac{\sqrt{6}}{4} − \frac{π\ sqrt{2}}{6} + \frac{3π\sqrt{6}}{16}$$

示例-3：

Tangentenebene finden$x^2+ y^2 + z^2 = 30$auf den Punkt gebracht$(1, -2, 5)$.

Lösung :

$$f(x, y, z)=x^2 + y^2 + z^2$$

$$∇f = (2x, 2y, 2z)$$

$$∇f(1,−2,5) = (2,−4,10)$$

$$\text{Gleichung lösen} = 2(x - 1) - 4(y + 2) + 10(z - 5)$$

Beispiel 4:

Bestimmen Sie die Tangentialebene zur Oberfläche$x2 + 2y2 + 3z2 = 36$auf den Punkt gebracht$P = (1, 2, 3)$

Lösung:

Um Farbverläufe zu verwenden, führen wir eine neue Variable ein:

$$w = x^2 + 2y^2 + 3z^2$$

Dann ist unsere Oberfläche die horizontale Oberfläche$w = 36$. Daher ist die Flächennormale:$$∇W = (2x, 4y, 6z)$$

Am Punkt P haben wir$∇w|P = (2, 8, 18)$). Unter Verwendung der Punktnormalform lautet die Gleichung der Tangentenebene:

$$2(x − 1) + 8(y − 2) + 18(z − 3) = 0, \text { oder Äquivalent} 2x + 8y + 18z = 72$$

So verwenden Sie den Tangentenebenenrechner:

Mit diesem Online-Rechner können Sie die Berechnungsgleichung der Tangentenebene effizient und schnell berechnen, indem Sie die folgenden Schritte ausführen: Sie können zwischen der 2-Variablen-Berechnung und der 3-Variablen-Berechnung wechseln, indem Sie auf die entsprechende Registerkarte oben im Eingabefeld klicken.

eingeben:

• Geben Sie zunächst die gewünschte mathematische Funktion in das Eingabefeld „Funktion eingeben“ ein.
• Geben Sie dann einfach die Koordinaten basierend auf der Anzahl der Variablen in der Funktion ein.

Ausgabe:

Dieser Rechner ermittelt die Gleichung einer Tangentenebene (die durch eine gegebene mathematische Funktion gebildet wird), die eine Oberfläche an einem Koordinatenpunkt berührt. Es bietet auch eine schrittweise Lösung, bei der alle relevanten Details unterschieden werden müssen.

FAQ:

Was ist das mathematische Grundgerüst zur Bestimmung von Tangentenebenen?

Partielle Differentialgleichungen werden im Wesentlichen verwendet, um die Gleichungen ihrer maßgeblichen Ebenen zu bestimmen. Dieser Tangentenebenenrechner basiert auf denselben mathematischen Konzepten und liefert in Sekundenschnelle genaue Ergebnisse.

Befindet sich die Tangentenebene im zweidimensionalen Raum oder im dreidimensionalen Raum?

Tangenten liegen in zwei Dimensionen, aber eine Tangentenebene ist die Kombination aller Tangenten, die eine Oberfläche an einem bestimmten Punkt berühren, sie liegt also in drei Dimensionen.

Was ist der Unterschied zwischen Tangentenvektor und Tangentenebene?

Ein Tangentenvektor ist eine Linie, die die Oberfläche an einem bestimmten Punkt kaum berührt (bestimmt durch eine mathematische Funktion), während eine Tangentenebene die Kombination aller Tangentenvektoren ist, die die Oberfläche an einem bestimmten Punkt berühren.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Tangentenebenen und Normalen?

Tangentebenen berühren die gekrümmte Oberfläche kaum und verlaufen parallel zur Oberfläche, während Normalen durch die Oberfläche verlaufen und senkrecht zur Oberfläche verlaufen.

abschließend:

All diese Berechnungen manuell durchzuführen ist ein sehr mühsamer Prozess. Dieser Rechner für Tangentenebenengleichungen ist eine praktische Ressource, die sofort genaue Ergebnisse liefert, selbst wenn mit drei variablen Funktionen gearbeitet wird. Der in den Back-End-Berechnungen verwendete mathematische Rahmen ist genau derselbe wie der im manuellen Prozess.