Eigenwertrechner

Der Eigenwertrechner ermittelt die Eigenwerte einer gegebenen quadratischen Matrix mithilfe der charakteristischen Gleichung eines Polynoms zusammen mit seiner detaillierten Lösung.

Eigenwerte einer Matrix:

In der Mathematik sind Eigenwerte Skalarwerte, die einer linearen Gleichung (auch Matrixgleichung genannt) zugeordnet sind. Sie wird auch latente Wurzel genannt. Eigenwerte sind ein spezieller Satz von Skalaren, die linearen Gleichungen zugeordnet sind. Es wird hauptsächlich für Matrixgleichungen verwendet. „Eigen“ ist ein deutsches Wort und bedeutet „charakteristisch“ oder „angemessen“. Einfach ausgedrückt sind Eigenwerte Skalare, die zur Transformation von Eigenvektoren verwendet werden.

Wie finde ich Eigenwerte?

Für eine 2x2-Matrix können die Spur und die Determinante der Matrix verwendet werden, um zwei ganz spezielle Zahlen zu erhalten und die Eigenvektoren und Eigenwerte zu ermitteln. Glücklicherweise findet der Eigenwertrechner sie automatisch. Wenn Sie überprüfen möchten, ob Sie die richtige Antwort gegeben haben, oder diese einfach manuell berechnen möchten, gehen Sie wie folgt vor:

Schiene:

Die Trajektorie einer Matrix ist definiert als die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten).

Es ist auch gleich der Summe der Eigenwerte (berechnet mithilfe der Multiplizität). Im Fall einer 2x2-Matrix ist Tr X = x_1 + b_2

Bestimmende Faktoren:

Matrixdeterminanten sind bei einigen anderen Operationen nützlich, beispielsweise beim Ermitteln der Umkehrung einer Matrix. Für eine 2x2-Matrix ist |十|= x_1 y_2 – x_2 y_1

Ein Online-Jacobi-Rechner kann Ihnen jedoch dabei helfen, die Determinante der Jacobi-Matrix und des Funktionssatzes zu ermitteln.

Beispiel:

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix {{6,1}, {8, 3}}.

Lösung:

Finden Sie die Eigenwerte einer 2 x 2-Matrix: Zunächst subtrahiert der Eigenwertrechner λ von den Diagonaleinträgen der gegebenen Matrix

$$\begin{vmatrix} 6,0 – λ \\ 1,0 && 8,0 \\ 3,0 – λ \end{vmatrix}$$

Die Determinante der resultierenden Matrix

λ^2 – 9,0 λ + 10, 0

Der Eigenwertlöser wertet die Gleichung λ^2 – 9,0 λ + 10 aus. 0 = 0

Wurzel (Eigenwert)

l_1 = 7,7015

l_2 = 1,2984

(λ_1, λ_2) = (7,7016, 1,2984)

Wie funktioniert der Rechner?

Der Online-Rechner ermittelt die Eigenwerte einer Matrix, indem er die charakteristische Gleichung wie folgt berechnet:

eingeben:

• Wählen Sie zunächst die Größe der Matrix aus der Dropdown-Liste aus.
• Ersetzen Sie nun die Werte in allen Feldern. Sie können Zufallswerte für eine Matrix generieren, indem Sie auf die Schaltfläche „Matrix generieren“ klicken. Entfernen Sie alle Werte, indem Sie alle Felder leeren.
• Klicken Sie für den nächsten Vorgang auf die Schaltfläche Berechnen.

Ausgabe:

• Der Matrix-Eigenwertrechner zeigt Werte an und löst Gleichungen.
• Außerdem wird die Determinante der erhaltenen Matrix verwendet und die Wurzelwerte bereitgestellt.

FAQ:

Wie finde ich die Eigenwerte einer 3x3-Matrix?

• Um die Eigenwerte der 3x3-Matrix X zu finden, benötigen Sie:
• Subtrahieren Sie zunächst λ von der Hauptdiagonale von X, um X - λI zu erhalten.
• Schreiben Sie nun die Determinante der quadratischen Matrix auf, die X - λI ist.
• Lösen Sie dann die Gleichung nach λ auf, die det(X - λI) = 0 ist. Die Lösung der Eigenwertgleichung ist der Eigenwert von X.

Können Eigenwerte Null sein?

Eigenwerte können Null sein. Wir betrachten den Nullvektor nicht als Eigenvektor: Da X 0 = 0 = λ0 für jeden Skalar λ ist, sind die entsprechenden Eigenwerte undefiniert.

Wo verwenden wir Eigenwerte?

Wir können Eigenwerte verwenden für:

• Die Eigenwertanalyse wird beim Entwurf autostereoskopischer Systeme verwendet, um durch Musik induzierte Fahrzeugvibrationen zu reproduzieren.
• Elektrotechnik: Die Anwendung von Eigenwerten kann zur Trennung dreiphasiger Systeme durch Transformation symmetrischer Komponenten genutzt werden.