Inverser Matrixrechner

Der kostenlose Online-Inverse-Matrix-Rechner berechnet die Umkehrung einer quadratischen Matrix 2x2, 3x3 oder höherer Ordnung. Wenn Sie einen Online-Rechner verwenden, können Sie lernen, wie Sie mit der Gauß-Jordan-Methode und der Adjungierten-Methode die Umkehrung einer Matrix ermitteln. Also, lasst uns weitermachen!

Konzept

Die Umkehrung der Matrix lautet wie folgt:$$A^{-1} = \frac{Adj\left(A\right)}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} \\}$$

In:

$$Adj \left(A\right) = \begin{bmatrix}d & -b\\ -c & a \\\end{bmatrix}$$ Für $$A = \begin{bmatrix}a & b\\ c & d \\\end{bmatrix}$$ $$det A = \begin{vmatrix}a & b \\c & d\end{vmatrix} \\ = ad - bc$$

Für die Umkehrung einer Matrix sollten die folgenden Bedingungen erfüllt sein

• Die Matrix sollte eine quadratische Matrix sein.
• Determinante der Matrix |A|≠0

Mit dem inversen Matrixrechner können wir überprüfen, ob die Matrix die oben genannten Bedingungen erfüllt. Was wäre, wenn Sie erwägen, die Definition von Adjungiert und Invers einer 3x3-Matrix zu entfernen? Wenn $$A= \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix}$$

Also
$$Adj A = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{12} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$Um die Umkehrung einer 3x3-Matrix zu bestimmen, müssen wir uns mit den Konzepten von Unterformeln und Cofaktoren auseinandersetzen.

 

Jedes Element der Matrix verfügt über eine Unterformeldefinition. Die Unterformel eines bestimmten Elements ist die Determinante, die man durch Eliminieren der Zeilen und Spalten erhält, die dieses Element enthalten.

Cofaktor:

Der Kofaktor eines Elements wird durch Multiplikation der Unterformel mit der Summe der Zeilen- und Spaltenexponenten des jeweiligen Elements bestimmt.$$Cofactor of a_{ij}= (-1)^i+j × minor of a_{ij}$$Für die oben angegebene Matrix A suchen wir die Unterformel und den Cofaktor der Matrix.$$A= \begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix}$$ $$M_{11} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}e & f \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{12} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d & f \\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{13} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d& e \\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$M_{21} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{22} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}a & c \\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{23} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix}d & e \\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$M_{31} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} e & g \\h & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{32} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} a & c\\g & i\end{vmatrix} \\$$ $$M_{33} = \left(-1\right)^{i+j} \begin{vmatrix} d & e\\g & h\end{vmatrix} \\$$ $$\text{Cofactor Matrix} = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{21} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}$$ $$A^{t} = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{21} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$ $$Adj\left(A\right) = \begin{vmatrix}M_{11} & M_{12} & M_{13} \\M_{12} & M_{22} & M_{23} \\M_{31} & M_{32} & M_{33}\end{vmatrix}^{t}$$Die gesamte Berechnung der 3x3-Matrix-Inversen kann mit dem Inversen-Matrix-Rechner schnell abgeschlossen werden.

Bestimmend:

Die Determinante einer Matrix ist die einzige Darstellung einer Matrix. Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe der Produkte der Elemente in bestimmten Zeilen und Spalten der Matrix multipliziert mit den übrigen Faktoren. Mit einem Determinantenrechner können wir die Determinante einer Matrix ermitteln.

Singularmatrix:

Der Maximalwert, dessen Determinante bekanntermaßen Null ist, ist eine singuläre Matrix. Für eine singuläre Matrix A, |A| = 0, können wir die Umkehrung der singulären Matrix nicht finden; diese Bedingung gilt, wenn wir die Umkehrung einer 3x3-Matrix oder einer anderen quadratischen Matrix finden.

Nicht singuläre Matrix:

Eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist, wird als nicht singuläre Matrix bezeichnet. Eine nicht singuläre Matrix |A|≠0 wird auch als invertierbare Matrix bezeichnet, da ihre Umkehrung berechnet werden kann.

Gaußsche Jordan-Methode:

Wir können die Gaußsche Jordan-Methode folgendermaßen implementieren:$$\begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \\g&h& i \end{bmatrix}\\$$Wir machen die Matrix zu einer Identitätsmatrix, indem wir Zeilenoperationen anwenden.$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}a&b&c&1&0&0\\ d&e&f&0&1&0\\g & h& i&0&0&1 \end{array}\right]\\$$Wir müssen Zeilenoperationen durchführen, um die Umkehrung der Matrix zu finden. Wir müssen die Matrix in eine Identitätsmatrix umwandeln und dann Zeilenoperationen ausführen. Das Ergebnis ist die inverse Matrix, die durch Gaußsche Jordan-Eliminierung erhalten wird. Der Inverse-Matrix-Rechner kann mithilfe der Gaußschen Jordan-Eliminierung schnell die Umkehrung einer Matrix ermitteln.

Beispiel:

Berechnen und lösen Sie die Umkehrung der 3x3-Matrix mit der Gaußschen Jordan-Eliminationsmethode:$$\begin{bmatrix}1&1&9 \\ 2&5&1\\1&2&7\end{bmatrix}\\$$Finden Sie nun die Determinante: Wir machen die Matrix durch die Anwendung von Zeilenoperationen zu einer Identitätsmatrix.$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&1&9&1&0&0\\ 2&5&1&0&1&0\\1&2&7&0&0&1\end{array}\right]\\$$Die endgültige inverse Matrix, die durch die Gaußsche Jordan-Eliminationsmethode erhalten wurde, ist:$$Inverse matrix= \begin{bmatrix}3&1&-4 \\ -1.182&-0.182&1.545 \\ -0.091&-0.091&0.273 \\\end{bmatrix}$$Der Inverse-Matrix-Rechner kann die Umkehrung einer 3x3-Matrix in Sekundenschnelle ermitteln.

So funktioniert der Inverse-Matrix-Rechner:

Inverse-Matrix-Berechnungen sind mit dem Inverse-Matrix-Rechner leicht zu finden. Dies kann auf einfachste und effektivste Weise in wenigen Minuten erledigt werden. 

FAQ:
Was ist eine invertierbare Matrix?
Eine Matrix mit einer Umkehrung sollte Eigenschaften haben, die nicht singulär und quadratisch sind.

Können wir die Umkehrung aller Matrizen finden?
Wir können nicht die Umkehrung aller Matrizen finden, nur die Umkehrung invertierbarer Matrizen kann mit dem Matrixinversionsrechner bestimmt werden.

Kann ich nach der Inversion die Originalmatrix erhalten?
Sie müssen lediglich die folgenden Schritte ausführen, um mit dem Matrix-Invers-Rechner die ursprüngliche Matrix zu erhalten:

Geben Sie Ihre inverse Matrix ein.
Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, um die Umkehrung der Umkehrmatrix zu erhalten.
Sie erhalten die Originalmatrix.
Kann man eine singuläre Matrix umkehren?
Nein, Sie können eine singuläre Matrix nicht invertieren, da bei der Berechnung der Umkehrung der Matrix die Determinante Null wird. Mit dem Inverse-Matrix-Rechner können Sie herausfinden, ob eine Matrix singulär ist.

Fazit:
Um Lösungen für lineare Gleichungen durch Matrixinversion zu finden, müssen wir die inverse Matrix finden. Die Umkehrung einer 3x3-Matrix und die Umkehrung einer 4x4-Matrix ist ein langer Prozess, und wir benötigen spezielle inverse Matrizen.