Produkt-Regel-Ableitung-Rechner

Mit dem Online-Produktregel-Ableitungsrechner können Sie die Ableitung einer Funktion ermitteln, die aus kleineren differenzierbaren Funktionen besteht. Dieser Rechner verwendet die Produktregel für Differentiale, um Ihre Probleme präzise zu vereinfachen. Dieser Inhalt enthält die gesamten grundlegenden Informationen zur Produktregel. Bitte lesen Sie weiter!

Was ist die Produktregel?

Wenn in der Produktregelrechnung zwei oder mehr Funktionen multipliziert werden, verwenden wir die Multiplikationsregel für Ableitungen. Wenn wir zwei Funktionen f(x) und g(x) haben, besagt die Produktregel: „Die Ableitung von f(x) mal g(x) plus die Ableitung von g(x) mal f(x)“

Produktregelformel:

Angenommen, wir haben zwei differenzierbare Funktionen f(x) und g(x). Die Formel der Ableitungsproduktregel dieser beiden Funktionen lautet wie folgt:

 

$$\frac{d}{dx} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{dx} g{\ left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{dx} f{\left（x \right）}$$

 

Zusätzlich zu manuellen Berechnungen mithilfe von Formeln können Sie den kostenlosen Online-Produktregel-Ableitungsrechner verwenden, um die Ableitungen zweier Produktfunktionen zu ermitteln.

Wie werden Derivateregeln angewendet?

Sie können das Produkt zweier Funktionen mithilfe der grundlegenden Regeln für die Ableitungsmultiplikation vereinfachen. Gehen wir ein paar Beispiele an.

Beispiel #01:

Differenzieren Sie die folgende Funktion wr tx.

 

$$h\left（ x \right） = \left（ {6{x^2} - x} \right) \left（ {1 - 30x} \right）$$

 

Lösung:

Die gegebene Funktion ist:

 

$$h\left（ x \right） = \left（ {6{x^2} - x} \right) \left（ {1 - 30x} \right）$$

 

Wir wissen, dass die Regeln für multiplikative Ableitungen wie folgt lauten:

 

$$\frac{d}{dx} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{dx} g{\ left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{dx} f{\left（x \right）}$$

 

Hier trennen wir die Funktionen nach der Formel wie folgt:

 

$$f(x) = \left({6{x^2} - x} \right)$$

 

$$g(x) = \left({1 - 30x} \right)$$

 

Berechnen Sie nun die Ableitung von f(x) nach x:

 

$$\frac{d}{dx} f(x)$$

 

$$=\frac{d}{dx} \left（6 x^{2} - x\right)$$

 

$$\frac{d}{dx} \left（6 x^{2} - x\right) = \left（12x - 1\right）$$

 

$$\frac{d}{dx} g(x)$$

 

$$=\frac{d}{dx} \left (1 - 30 x\right)$$

 

$$\frac{d}{dx} \left（1 - 30 x\right） = -30$$

(Um die Ableitung Schritt für Schritt zu berechnen, klicken Sie auf Ableitungsrechner)

Nun gilt nach den Multiplikationsregeln für Ableitungen:

 

$$\frac{d}{dx} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{dx} g{\ left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{dx} f{\left（x \right）}$$

 

Setzen Sie die Ableitung in die Formel ein, um die endgültige Antwort zu erhalten.

 

$$\left (6 x^{2} - x\right) (-30) + \left (1 - 30 x\right) \left (12 x - 1\right)$$

 

$$- 180 x^{2} + 30 x + \left (1 - 30 x\right) \left (12 x - 1\right)$$Nach der Vereinfachung erhalten wir:

 

$$- 180 x^{2} + 30 x + (1) (12x) - (1) (-1) - (30x) (12x) + (-30x) (-1)$$

 

$$- 540 x^{2} + 72 x - 1$$

 

Wir haben also:

 

$$h\left（$$

 

Welches ist die erforderliche Antwort. Darüber hinaus ermöglicht unser kostenloser Online-Produktregelableitungsrechner eine genauere und sofortige Auswertung einer bestimmten Funktion.

 

Beispiel #02:

Differenzieren Sie die folgende Funktion nach der Variablen z gemäß der Multiplikationsregel Derivat.

 

$$(z^2)^{1/3} * (2z-z^2)$$

 

Lösung:

Da die Produktregel wie folgt lautet:

 

$$\frac{d}{dx} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{dx} g{\ left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{dx} f{\left（x \right）}$$

 

Wir definieren diese Funktionen separat:

 

$$f(x) = (z^{2})^{1/3}$$

 

$$g(x) = \left(2z - z^{2}\right)$$

 

Leiten Sie zwei Funktionen ab:

 

$$\frac{d}{dz} f(x)$$

 

$$=\frac{d}{dz} \sqrt[3]{z^{2}}$$

 

$$\frac{d}{dz} \sqrt[3]{z^{2}} = \frac{2 \sqrt[3]{z^{2}}}{3 z}$$

 

$$\frac{d}{dz} g(x)$$ $$=\frac{d}{dz} \left (- z^{2} + 2 z\right)$$

 

$$\frac{d}{dz} \left（- z^{2} + 2 z\right) = 2 - 2z$$

 

(Um die Ableitung Schritt für Schritt zu berechnen, klicken Sie auf Ableitungsrechner)

Befolgen Sie die Produktregel für Derivate:

 

$$\frac{d}{dx} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{dx} g{\ left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{dx} f{\left（x \right）}$$

 

Weisen Sie die Ableitung jeder Funktion zu und vereinfachen Sie:

 

$$\frac{2 \left（5 - 4 z\right） \sqrt[3]{z^{2}}}{3}$$

Das ist die Antwort, die wir fordern.

Wie funktioniert der Produktregelableitungsrechner?

Befolgen Sie diese einfachen Richtlinien, um die Ableitungen von zwei oder mehr multiplizierten Funktionen zu ermitteln:

eingeben:

• Geben Sie die angegebene Funktion in das Gleichungsmenü ein, das verschiedene Funktionen wie log, sqrt, ln, sin, cos, tan usw. unterstützt.
• Wählen Sie die Variable aus, für die Sie die Ableitung der angegebenen Funktion bestimmen möchten. Verfügbare Variablen sind a, b, c, d, x, y, z oder n.
• Wählen Sie eine Diskriminierungsgrenze, die 5 nicht überschreiten darf.
• Klicken Sie auf „Berechnen“

Ausgabe: Unser kostenloser Produktregel-Ableitungsrechner berechnet:

• Bilden Sie die globale Ableitung der Funktion gemäß der Produktregel.
• Vereinfachen Sie Ihre Frage in geeigneter Weise.
• Berechnen Sie Schritt für Schritt, um die Problemstruktur besser zu verstehen.

FAQ:

Was ist die Regel für das Produkt von Exponenten?

Die Regel für das Produkt von Exponenten besagt: „Wenn wir Exponentenausdrücke mit derselben Basis multiplizieren, addieren wir ihre Exponenten.“

 

$$\left(a^{m}*a^{n}\right)$$ $$=a^{m+n}$$

Können wir die Produktregel auf 4 Terme anwenden?

Ja, das können Sie tun. Sie müssen lediglich die Ableitungen jeder neuen Funktion im Ausdruck berücksichtigen und addieren, um die endgültige Antwort zu erhalten.

Wie drückt man den natürlichen Logarithmus von Null aus?

Der natürliche Logarithmus (ln) ist nur für x>0 definiert. Daher ist der natürliche Logarithmus von Null undefiniert. ln (0) = ∞

Was ist die Ableitung von log(e)?

Wir wissen:

log(e)=1.

Deshalb haben wir:

dy/dx=0

Der Grund dafür ist, dass wir wissen, dass die Ableitung jedes konstanten Termes immer Null ist.

abschließend:

Die Differentialproduktregel findet breite Anwendung in der Analysis und den Ingenieurwissenschaften. Mathematiker nutzen häufig den kostenlosen Online-Produktregel-Ableitungsrechner, um komplexe Funktionen an bestimmten Punkten zu differenzieren. Dieser Rechner hilft Fachleuten und Studenten gleichermaßen, schnell universelle Lösungen für Probleme zu finden.