Maclaurin-Reihenrechner

Mit dem Maclaurin-Reihenrechner können Sie die MacLaughlin-Reihenentwicklung einer bestimmten Funktion um einen bestimmten Punkt bestimmen.

Unser Rechner verwendet Ableitungen, um die notwendigen Polynome zu erhalten, und wird verwendet, um die vereinfachte Reihe zu erhalten.

Was ist die Maclaurin-Serie?

In der Mathematik wird eine Maclaurin-Reihe als erweiterte Reihe einer bestimmten Funktion definiert. In dieser Reihe kann die Näherung einer gegebenen Funktion als Summe der Ableitungen einer beliebigen Funktion bestimmt werden. a = 0, wenn die Funktion auf Null erweitert wird und nicht auf andere Werte.

Formel der Maclaurin-Reihe:

MacLaughlin-Reihenrechner Die Formel zur Berechnung der Reihenentwicklung einer beliebigen Funktion lautet:

$$Σ^∞_{n=0} \frac{f^n (0)} {n!} x^n$$

Dabei ist f^n(0) die Ableitung n-ter Ordnung der Funktion f(x) und n die Ordnung von x = 0. Die Serie wird in der Nähe des Mittelpunkts genauer sein. Wenn wir uns vom Mittelpunkt a = 0 entfernen, nimmt die Genauigkeit der Reihe als Näherung der Funktion ab.

Die Schritte zum Ermitteln der Reihe der Maclaurin-Funktion sind wie folgt:

Sie können einen Taschenrechner verwenden, um genau die erweiterte Reihe zu finden. Wenn Sie es jedoch manuell tun möchten, befolgen Sie diese Anweisungen:

• Nehmen Sie zunächst die Funktion und ihren Bereich, um die Reihe von f(x) zu finden.
• MacLaughlins Formel lautet wie folgt$f(x)=∑k=0^∞ f^k (a)* x^k/ k!$
• Finden Sie f^k (a), indem Sie die Ableitung der Funktion nehmen und die Bereichswerte in der gegebenen Funktion addieren.
• Berechnen Sie nun die Komponente k für jeden Schritt! .
• Fügen Sie dann die resultierenden Werte zur Formel hinzu und wenden Sie die Sigma-Funktion an, um die Lösung zu erhalten.

Beispiel:

Berechnen Sie die Maclaurin-Entwicklung von sin(y) bis n = 4?

Lösung:

Gegebene Funktion f(y)= Sin(y) und Sequenzpunkt n = 0 bis 4

Die MacLaughlin-Gleichung für diese Funktion lautet:

$$f(y)=∑k=0^∞ f (k) (a)* y^k/ k!$$

$$f(y)≈ ∑k=0^4 f (k) (a)* y^k/ k!$$

Daher wird die Ableitung an einem bestimmten Punkt berechnet und ausgewertet, um das Ergebnis in die angegebene Formel einzufügen.

$$F^0(y) = f (y) = sin(y)$$

Bewertungsfunktion:

$$f (0) = 0$$

Nehmen Sie die erste Ableitung

$f^1(y) = [f^0(y)]'$

$$[sin(y)]' = cos(y)$$

$$[f^0(y)]' = cos(y)$$

Berechnen Sie die erste Ableitung

$$(f (0))' = cos(0) = 1$$

Zweite Ableitung:

$$f^2 (y) = [f^1 (y)]' = [cos (y)]' = - sin(y)$$

$$(f (0))′′=0$$

Nehmen wir nun die dritte Ableitung:

$$f^3(y) = [f^2(y)]' = (- sin (y))' = - cos(y)$$

Berechnen Sie die dritte Ableitung$(f (0))''' = - cos (0) = -1$Vierte Ableitung:

$$f^4 (y) = [f^3 (y)]' = [- cos (y)]' = sin (y)$$

Finden Sie dann die vierte Ableitung der Funktion (f(0))'''' = sin(0) = 0

Ersetzen Sie daher den Wert der Ableitung in der Formel

$$f(y) ≈ 0/0! y^0 + 1/1! y^1 + 0/2! y^2 + (-1)/3! y^3 + 0/4! y^4$$

$$f(y) ≈ 0 + x + 0 - 1/6 y^3 + 0$$

$$sin(y) ≈ y-1/6 y^3$$

Wie funktioniert unser Rechner?

Der Rechner von MacLaughlin ermittelt die Potenzreihenentwicklung jeder Funktion gemäß den folgenden Richtlinien:

eingeben:

• Geben Sie zunächst die angegebene Funktion für eine beliebige Variable aus der Dropdown-Liste ein.
• Ersetzen Sie nun n durch diesen Wert.
• Suchen Sie dann die Reihe und bestimmen Sie den Fehler an diesem Punkt. (optional)
• Klicken Sie für die erweiterte Serie auf die Schaltfläche Berechnen.

Ausgabe:

• Der Rechner berechnet die Reihe einer Funktion um einen bestimmten Punkt.
• Um das Polynom und damit das Endergebnis zu erhalten, wird die Ableitung einer bestimmten Funktion benötigt.
• Der MacLaughlin-Polynomrechner zeigt Schritt-für-Schritt-Berechnungen aller Ableitungen und Polynome.