Mittelpunktregelrechner

Geben Sie ein bestimmtes Integral ein und der Rechner approximiert es anhand der Mittelpunktsregeln (Mittelpunktkoordinaten) und zeigt die Schritte an.

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Mit dem Online-Mittelwertregelrechner können Sie bestimmte Integrale mithilfe der Mittelwertregel schätzen. Darüber hinaus liefert dieser Rechner eine Näherung der Fläche im Vergleich zum linken und rechten Rechteck oder der Summe der linken Rechtecke. Lesen Sie also weiter, um zu erfahren, wie Sie die Mittelpunktregel mit ihrer Formel und Beispielen finden.

Was ist die Mittelpunktregel?

In der Mathematik nähert die Mittelpunktsregel die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f(x) und der x-Achse an, indem sie die Flächen von Rechtecken addiert, deren Mittelpunkte Punkte auf f(x) sind.

Sie können den Online -Riemann-Summenrechner verwenden , mit dem Sie bestimmte Integrale und Stichprobenpunkte von Mittelpunkten, Trapezen, rechten Endpunkten und linken Endpunkten mithilfe endlicher Summen schätzen können.

Formel für die Mittelpunktregel:

Um die Fläche verschiedener Rechtecke und die Fläche von n im Allgemeinen zu ermitteln, erhalten wir:

∫ABF(X)=ΔX(F(X0+X12)+F(X1+X22)+F(X2+X32)+...+F(XN−2+XN−12)+F(XN−1+XN2))∫^b_a f(x) = Δx (f(\frac{x_0 + x_1} {2}) + f(\frac{x_1 + x_2} {2}) + f(\frac{x_2 + x_3} {2} ) + . + f(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}} {2}) + f(\frac{x_{n-1} + x_n} {2}) )

Wenn Sie jedoch Ober- und Untergrenzen eingeben, verwendet der Online-Mittelpunktregelrechner sofort diese Formel, um das Näherungsintegral zu lösen.

Beispiel einer Mittelpunktsregel :

Finden Sie die Mittelpunktregel∫14X2+4∫^4_1 \sqrt{x^2 + 4}, wobei die Anzahl der Rechtecke 5 beträgt.

Lösung:

Integral∫14X2+4DX∫^4_1 \sqrt{x^2 + 4} dxWenn n = 5, verwenden Sie die Mittelpunktregel.

Die Mittelpunktregelformel lautet:

∫ABF(X)=ΔX(F(X0+X12)+F(X1+X22)+F(X2+X32)+...+F(XN−2+XN−12)+F(XN−1+XN2))∫^b_a f(x) = Δx (f(\frac{x_0 + x_1} {2}) + f(\frac{x_1 + x_2} {2}) + f(\frac{x_2 + x_3} {2} ) + . + f(\frac{x_{n - 2} + x_{n - 1}} {2}) + f(\frac{x_{n - 1} + x_n} {2}) )

wobei Δx = b – a / n

Wir haben a = 1, b = 4, n = 5.

Daher ist Δx = 4 - 1 / 5 = 0,6

Teilen Sie das Intervall [1, 4] in n = 5 Teilintervalle mit der Länge Δx = 0,6 und die Endpunkte sind wie folgt:

A = 1, 1,6, 2,2, 2,8, 3,4, 4 = b

Der Mittelpunktregel-Approximationsrechner kann die exakte Fläche unter einer Kurve zwischen zwei verschiedenen Punkten annähern.

Bestimmen Sie nun die Funktion an den Teilintervallpunkten.

F(X0+X12)=F(1+1.62)=F(1.3)=(1.3)2+4=2.3853f(\frac{x_0 + x_1} {2}) = f (\frac{1 + 1,6} {2}) = f(1,3) = \sqrt{(1,3)^2 + 4} = 2,3853

F(X1+X22)=F(1.6+2.22)=F(1.9)=(1.9)2+4=2.7586f(\frac{x_1 + x_2} {2}) = f (\frac{1,6 + 2,2} {2}) = f(1,9) = \sqrt{(1,9)^2 + 4} = 2,7586

F(X2+X32)=F(2.2+2.82)=F(2.5)=(2.5)2+4=3.2015f(\frac{x_2 + x_3} {2}) = f (\frac{2,2 + 2,8} {2}) = f(2,5) = \sqrt{(2,5)^2 + 4} = 3,2015

F(X3+X42)=F(2.8+3.42)=F(3.1)=(3.1)2+4=3.6891f(\frac{x_3 + x_4} {2}) = f (\frac{2,8 + 3,4} {2}) = f(3,1) = \sqrt{(3,1)^2 + 4} = 3,6891

F(X4+X52)=F(3.4+42)=F(3.7)=(3.7)2+4=4.2059f(\frac{x_4 + x_5} {2}) = f (\frac{3,4 + 4} {2}) = f(3,7) = \sqrt{(3,7)^2 + 4} = 4,2059

Addieren Sie nun diese Werte und multiplizieren Sie sie mit Δx = 0,6, also

0.6(2.3853+2.7586+3.2015+3.6891+4.2059)=9.74440,6 (2,3853 + 2,7586 + 3,2015 + 3,6891 + 4,2059) = 9,7444

Der Mittelpunktregelrechner kann mithilfe seiner Formel eine bessere Annäherung an die Fläche liefern.

Mit einem Online-Integralrechner können Sie jedoch das Integral einer Funktion mit Variablen berechnen.

Formel für die Fehlergrenze der Mittelpunktregel:

Die Mittelpunktsregel, die Simpson-Regel und die Trapezregel sind allesamt unterschiedliche Methoden zur Annäherung an die Fläche unter einer Kurve. Die Frage ist jedoch: Woher wissen wir, welche Näherung im Vergleich zur tatsächlichen Fläche unter der Kurve genauer ist?

Die Fehlergrenzenformel gibt uns den maximalen Fehler in unserer Schätzung an. Wenn die Fehlergrenze klein ist, liegt unsere Näherung daher nahe an der tatsächlichen Fläche. Darüber hinaus ist unsere Schätzung schlecht und weit von der tatsächlichen Fläche entfernt, wenn die Fehlergrenze groß ist.

Die Mittelpunktfehlerformel lautet:

∣AngströmReis∣<Kalium(B–A)3/zweiVierN2∣F''(X)∣<Kalium|E_M|. < K (b – a)^3 / 24 n^2 |f'' (x) | < K ∣EM∣<K(b–a)3/24n2∣f''(x)∣<K

Dabei ist E_m der tatsächliche Fehler der Mittelpunktsregel und n die Anzahl der Teilintervalle, die zum Ermitteln der Fläche im Intervall [a, b] verwendet werden. f'' (x) ist die zweite Ableitung der gegebenen Funktion.

Wie funktioniert der Mittelpunktregelrechner?

Der Online-Approximationsrechner für die Mittelpunktsregel hilft Ihnen dabei, die Größe eines Teilintervalls mithilfe der Mittelpunktsregel zu ermitteln, indem Sie die folgenden Schritte ausführen:

eingeben:

  • Geben Sie zunächst eine Funktion mit einer Ober- und Untergrenze ein.
  • Ersetzen Sie dann die Anzahl der Rechtecke entsprechend Ihren Anforderungen durch eine beliebige Variable aus der Dropdown-Liste.
  • Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.

Ausgabe:

  • Der Mittelpunktregelrechner berechnet die Gesamtgröße eines Teilintervalls.
  • Der Rechner bietet außerdem Mittelpunktregelformeln und Mittelpunkte von Teilintervallen sowie schrittweise Berechnungen.

Häufig gestellte Fragen:

Ist Trapez oder Mittelpunkt genauer?

Die Mittelpunktmethode ist genauer als die Trapezmethode. Dies wird von den zusammengesetzten Fehlergrenzen empfohlen, sie schließen jedoch nicht aus, dass die Trapezmethode in manchen Fällen genauer sein könnte.

Warum ist die Trapezregel ungenau?

Wenn die zugrunde liegende Funktion eine glatte Funktion ist, ist die Trapezregel weniger genau als die Simpson-Regel, da die Simpson-Regel eine quadratische Näherung anstelle einer linearen Näherung verwendet. Diese Formel wird normalerweise für eine ungerade Anzahl von Punkten angegeben.

Wie bestimmt man den Mittelpunkt einer Riemann-Summe?

Der Mittelpunkt der Riemannschen Summe ist der Punkt, von dem aus wir die Funktion bewerten. Dazu integrieren wir jedes Intervall an seinem Mittelpunkt und ermitteln anhand dieser Werte die Höhe der verschiedenen Rechtecke.

Wie berechnet man Fehlergrenzen?

Um die Fehlergrenze zu berechnen, ermitteln Sie zunächst die Differenz zwischen den oberen Grenzen des Intervalls. Wenn Sie den Stichprobenmittelwert nicht kennen, können Sie die Fehlergrenze ermitteln, indem Sie die Hälfte der Differenz zwischen der Unter- und Obergrenze berechnen.

abschließend:

Verwenden Sie diesen Online-Mittelpunktregelrechner, um die Integraltabelle einer bestimmten Funktion über das Intervall (a, b) mithilfe der Mittelpunktformel zu berechnen. Diese Regel verwendet den Mittelpunkt jedes Intervalls als Punkt, an dem sie die Riemannsche Summe einer gegebenen Funktion auswertet.