Taylor-Reihen-Rechner

Geben Sie einen Wert ein, um die Taylor-Reihendarstellung der Funktion zu finden.

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Taylor-Reihenrechner

Verwenden Sie diesen Taylor-Reihenrechner, um Ihre Funktion Schritt für Schritt als Taylor-Reihe darzustellen. Sie können die Funktion erweitern, indem Sie Folgendes angeben:

  1. Der Mittelpunkt (a), an dem Sie die Taylor-Reihe zentrieren möchten. Standardmäßig wird dies normalerweise als x = 0 ausgedrückt
  2. Die gewünschte Ordnung (n) des Taylor-Reihenpolynoms, die dabei hilft, die Anzahl der in der Näherung zu berücksichtigenden Terme zu bestimmen
  3. Fehlergrenzen oder Konvergenzanalyse, abhängig vom Grad des Polynoms

Limit:

Dieser Rechner eignet sich zur Darstellung von Taylorreihen. Es kann keine erweiterten Funktionen wie die Konvergenzanalyse oder die Untersuchung alternativer Reihendarstellungen verarbeiten.

Was ist eine Taylor-Reihe?

Eine Taylor-Reihe ist eine unendliche Summe von Termen, die aus den Ableitungen einer Funktion an einem bestimmten Punkt abgeleitet werden.

Es wird häufig in der Analysis verwendet, um die Werte komplexer Funktionen anzunähern, insbesondere in der Nähe ausgewählter Punkte. Diese Taylor-Reihe eignet sich besonders zur Darstellung komplexer Funktionen durch einfachere Polynome.

Taylor-Reihenformel:

Die allgemeine Formel für die Taylor-Reihenentwicklung lautet:

 F(X)=∑N=0∞F(N)(A)N!(X−A)N=F(A)+F'(A)(X−A)+F''(A)2!(X−A)2+F'''(A)3!(X−A)3+…+F(N)(A)N!(X−A)N+…\ f（x）=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n=f（a）+f^{\prime}（a）（x-a）+\frac{f^{\prime\prime}（a）}{2！}（x-a）^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}（a）}{3！}（x-a）^3+\ldots+\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n+\ldots

Wo

Die Taylor-Reihe ist unendlich, aber Sie können den Grad des Polynoms (n) festlegen, den Sie angeben möchten. Dies kann auch mit unserem Taylor-Reihenrechner erfolgen, der es Ihnen ermöglicht, einen „n“-Wert für die Näherung anzugeben (das Hinzufügen höherer Grade führt zu einer genaueren Näherung der Funktion).

Wie berechnet man die Taylor-Reihe?

Um die Taylor-Reihenentwicklung einer Funktion zu berechnen, sehen Sie sich ein Beispiel mit der Formel an:

Beispiel:

Die Funktion ist"X2+4\sqrt{x^{2} + 4} Bis n = 2, wobei Punkt =1“, finden Sie die Taylor-Reihe.

Lösung:

 F(X)=∑k=0∞F(k)(A)k!(X−A)k\ f （x） = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{（k）}（a）}{k！}（x - a）^{k}

 F(X)≈P(X)=∑k=0∞F(k)(A)k!(X−A)k=∑k=02F(k)(A)k!(X−A)k\ f （x） ≈ P（x） = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{（k）}（a）}{k！}（x - a）^{k} = \sum\limits_{k=0}^{2} \frac{f^{（k）}（a）}{k！}（x - a）^{k}

 F(0)(X)=F(X)=X2+4\ f^{（0）}（x） = f（x）= \sqrt{x^{2} + 4}  F(1)=5\ f（1） = \sqrt{5}

Berechnen Sie die erste Ableitung:

 F(1)(X)= (F(0)(X))'=(X2+4)'=XX2+4\ f^{（1）}（x） = \left（f^{（0）}（x）\right）^{'}= \left（\sqrt{x^{2} + 4}\right）^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}

Ableitung erster Ordnung für einen gegebenen Punkt:

(F(1))'=55\left（f（1）\right）^{'} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Zweite Ableitung:

 F(2)(X)= (F(1)(X))'=(XX2+4)'=4(X2+4)32\ f^{（2）}（x） = \left（f^{（1）}（x）\right）^{'}= \left（\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}\right）^{'} = \frac{4}{\left（x^{2} + 4\right）^{\frac{3}{2}}}

Ableitung zweiter Ordnung für einen gegebenen Punkt:

(F(1))''=4525\left（f（1）\right）^{''} = \frac{4 \sqrt{5}}{25}

Polynome können mit den folgenden Werten erhalten werden:

 F(X)≈50!(X−(1))0+551!(X−(1))1+45252!(X−(1))2\ f（x） ≈ \frac{\sqrt{5}}{0！}（x- （1））^{0} + \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1！}（x- （1））^{1} + \frac{\frac{4 \sqrt{5}}{25}}{2！}（x- （1））^{2}

Hier können Sie auch eine Polynom-Taylor-Entwicklung durchführen, indem Sie Werte im Taylor-Polynomrechner angeben.

Nach der Vereinfachung:

 F(X)≈P(X)=5+5(X−1)5+25(X−1)225\ f（x）≈P（x）=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5} \left（x - 1\right）}{5}+\frac{2 \sqrt{5} \left（x - 1\right）^{2}}{25}

Warum Taylor-Reihen verwenden?

Menschen verwenden Taylor-Reihen aus mehreren Gründen, darunter: