Doppelintegralrechner

Doppelintegralrechner:

Mit diesem Doppelintegralrechner können Sie das bestimmte oder unbestimmte Doppelintegral einer Funktion zweier Variablen (f(x, y)) berechnen. Der Dual-Integrationslöser bietet schrittweise Berechnungen und ermöglicht Ihnen sogar, die Reihenfolge der Integration zu ändern, was zu einfacheren Lösungen führt.

Was sind doppelte Punkte?

In der Analysis wird das Doppelintegral verwendet, um das Integral einer Funktion zweier Variablen (bezeichnet mit f(x, y)) über einen zweidimensionalen Bereich (bezeichnet mit R) zu berechnen. Es hilft nicht nur, das Volumen unter der Oberfläche zu ermitteln, sondern auch die Massenverteilung zu ermitteln und den Fluss (Strömungsrate) und die Fläche der Region zu berechnen $\R^{2}\$ Streifen.

Das Doppelintegral wird mathematisch durch das Symbol dargestellt $\"∫∫_R"$ stellt ein Doppelintegral über den Bereich „R“ dar, gefolgt von der Funktion f(x, y) und dem Bereichselement dA.

Doppelintegrale können auch als iterative Integrale ausgedrückt werden:

$\begin{array}{l}\ ∫∫_{R}f(x,y)\dA =\ ∫∫_{R}f(x,y)\dx\ dy\end{array}$

Wie löst man ein Doppelintegral?

Um ein Doppelintegral einer zweidimensionalen Funktion auszuwerten, gehen Sie folgendermaßen vor:

• Geben Sie zunächst die Region an (gekennzeichnet mit R).
• Schreiben Sie nun das Doppelintegral in symbolischer Form: $\ ∫∫_R f(x, y) dA$
• Führt eine innere Integration einer Funktion f(x, y) einer Variablen durch und behandelt die zweite Variable als Konstante
• Notieren Sie das Ergebnis und integrieren Sie es in die zweite Variable, wobei Sie die erste Variable konstant lassen
• Sie erhalten das Endergebnis, das das über den Bereich R berechnete Doppelintegral darstellt

Beispiel:

Berechnen Sie das Doppelintegral $\ x^{2}\ + \ 3xy^{2}\ + \ xy$

Lösung:

Schritt 1: Berechnen Sie das innere Integral der Variablen x

 $\∫_{0}^{1} (x^2 + 3xy^2 + xy) \, dx$

 

$\ = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3}{2}x^2y^2 + \frac{x^2}{2}y \right]_{0}^{ 1}$

 

$\ = \left（ \frac{1^3}{3} + \frac{3}{2}（1）y^2 + \frac{1^2}{2}y \right) - \left（ \ frac{0^3}{3} + \frac{3}{2}(0)y^2 + \frac{0^2}{2}y \right)$

 

$\ = \left（ \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y \right) - 0$ $= \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y$

 

Schritt 2: Integrieren Sie nun das in Schritt 1 erhaltene Ergebnis für die Variable y

 

$\ ∫_{0}^{1} \left（ \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y^2 + \frac{1}{2}y \right) \, dy$

 

$\ = \left[ \frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^3 + \frac{1}{4}y^2 \right]_{0}^{1}$

 

$\ = \left（ \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{2}(1)^3 + \frac{1}{4}(1)^2 \right) - \left (\frac{1}{3}(0) + \frac{1}{2}(0)^3 + \frac{1}{4}(0)^2 \right)$

 

$\ = \left（ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) - 0$

 

$\ = \frac{13}{12}$