Fourier-Reihen-Rechner

Dieser kostenlose Fourier-Reihenrechner wurde speziell für die Berechnung der Fourier-Reihe einer bestimmten periodischen Funktion entwickelt. Nun haben wir beschlossen, mit einer grundlegenden Theorie zu beginnen!

Was sind Fourier-Reihen?

In der Mathematik,

„ Die Entwicklung einer periodischen Funktion anhand der unendlichen Summe von Sinus- und Cosinuswerten wird als Fourier-Reihe bezeichnet.“

Fourier-Reihenformel:

Schauen Sie sich die angegebene Formel an, die die periodische Funktion f(x) im Intervall zeigt$-L\el\:\\:L\:$

 

$$f\left（x\right）=a_0+\sum _{n=1}^{\infty \：}a_n\cdot \cos \left（\frac{n\pi x}{L}\right）+\sum _{n=1}^{\infty \:}b_n\cdot \sin \left（\frac{n\pi x}{L}\right)$$

 

In;

 

$$a_0=\frac{1}{2L}\cdot \int _{-L}^Lf\left（x\right）dx$$

 

$$a_n=\frac{1}{L}\cdot \int _{-L}^Lf\left（x\right）\cos \left（\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\ :\quad\:n>0$$

 

$$b_n=\frac{1}{L}\cdot \int _{-L}^Lf\left（x\right）\sin \left（\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\ :\quad\:n>0$$

 

Mit Hilfe des Fourier-Koeffizienten-Rechners können Sie die Werte dieser Koeffizienten leicht ermitteln.

Wie werden Fourier-Reihen berechnet?

Die Bestimmung der Fourier-Reihe einer bestimmten Funktion kann ein hektischer und langwieriger Prozess sein. Aus diesem Grund haben wir unseren kostenlosen Rechner für Fourier-Reihen-Koeffizienten so programmiert, dass er Ihre Ergebnisse sofort und genau ermittelt. Aber um die korrekte Verwendung von Fourier-Reihen zu verstehen, wollen wir einige Beispiele lösen.

Beispiel Nr. 01: Berechnen Sie die Fourier-Reihe der unten angegebenen Funktion:

$$f\left（ x \right） = L - x on - L \le x \le L$$

 

wie$$f\left（ x \right） = L - x$$ $$f\left(-x\right) = -(L-x)$$

 

$$f\left（ x \right） = -f\left（ x \right）$$

 

Die angegebene Funktion ist ungerade. Das Bestimmtheitsmaß ist nun wie folgt:

 

$${a_0} = \frac{1}{{2L}}\int_{{\, - L}}^{{\, L}}{{f\left(x \right)\,dx}}$$

 

$${a_0} = \frac{1}{{2L}}\int_{{\, - L}}^{{\, L}}{{L - x\, dx}}$$

 

$${a_0} = 2L$$    

 

Wie wir alle wissen, ist a_{n} für ungerade Funktionen 0. Bestimmen Sie den Wert von b_{n} wie folgt:

$$\begin{align*}{B_{\，n}} &= \frac{1}{L}\int_{{\， - L}}^{{\，L}}{{f\left（ x \right）\sin \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right）\，dx}} = \frac{1}{L}\int_{{\， - L}}^{{\，L}}{{\left（ {L - x} \right）\sin \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right）\，dx}}\\ & = \frac{1}{L}\left.{\left（ { - \frac{L}{{{n^2}{\pi ^2}}}} \right）\left[ {L\sin \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right） - n\pi \left（ {x - L} \right）\cos \left（ {\frac{{n\，\pi x}}{L}} \right）} \right]} \right|_{ - L}^L\\ & = \frac{1}{L}\left[ {\frac{{{L^2}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}\left（ {2n\pi \cos \left（ {n\pi } \right） - 2\sin \left（ {n\pi } \right）} \right）} \right] = \frac{{2L{{\left（ { - 1} \right）}^n}}}{{n\pi }}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}n = 1,2,3， \ldots \end{对齐*}$$

(Klicken Sie auf den Integralrechner für schrittweise Berechnungen.) In diesem Fall ist a_{0} nicht Null, aber a_{n} ist 0. Daher ist die Fourier-Reihe:

 

$$f\left（x\right）=2 L +\sum _{n=1}^{\infty \：}0\cdot \cos \left（\frac{n\pi x}{L}\right）+\sum _{n=1}^{\infty \：}\frac{2 \left（-1\right）^{n}}{n}\cdot \sin \left（\frac{n\pi x}{L}\right）$$

 

$$f\left（x\right）=L + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \left（-1\right）^{n} \sin{\left（n x \right）}}{n}$$

 

Auch hier kann Ihnen der Fourier-Koeffizienten-Rechner bei konkreten Berechnungen behilflich sein.

Wie funktioniert der Fourier-Reihenrechner?

Wann immer Sie auf eine komplexe Funktion stoßen, kann Ihnen unser kostenloser Online-Fourier-Reihenrechner dabei helfen, genaue Ergebnisse zu ermitteln. Mit unserem Rechner erhalten Sie die richtige Berechnungslösung.

eingeben:

• Schreiben Sie zunächst Ihre Funktion in die Dropdown-Liste
• Wählen Sie anschließend die Variable aus, für die Sie die Fourier-Reihenentwicklung bestimmen möchten
• Geben Sie die Unter- und Obergrenzen ein
• Klicken Sie auf „Berechnen“

Ausgabe: Berechnung des Fourier-Erweiterungsrechners:

• Fourier-Reihe einer gegebenen Funktion
• Fourier-Koeffizienten der Funktion f : a_{0}, a_{n} und b_{n}
• Schritt-für-Schritt-Berechnungen im Prozess