Determinantenrechner

Der Determinantenrechner vereinfacht das Finden von Determinanten für Matrizen mit einer Größe von bis zu 5×5. Wählen Sie die Größe der Matrix und geben Sie reelle oder komplexe Zahlen ein, um die Determinantenmatrix und die Berechnung bei jedem Schritt auszuwerten.

Was ist eine Determinante?

Es handelt sich um einen Skalarwert, der aus den Elementen einer quadratischen Matrix ermittelt wird. Es weist einige Eigenschaften einer linearen Transformation auf und misst, wie gestreckt die durch die Matrix angegebene lineare Transformation ist. Ob die Determinante einer Matrix positiv oder negativ ist, hängt davon ab, ob die lineare Transformation die Richtung des Vektorraums beibehält oder umkehrt. Es wird als det (A), det A oder |a| dargestellt.

Wie berechnet man die Determinante einer Matrix?

Die Determinante einer Matrix kann auf unterschiedliche Weise berechnet werden, aber der Determinantenrechner berechnet die Determinante einer quadratischen Matrix 2x2, 3x3, 4x4 oder höherer Ordnung. Mit diesem Rechner entfällt die Komplexität von Matrixberechnungen, sodass die Determinante einer Matrix beliebiger Größe einfach und leicht ermittelt werden kann. In einer einfachen manuellen Operation wird sie durch Multiplikation ihrer Hauptdiagonalen und Reduzieren der Matrix auf ein Zeilentrapez berechnet. Hier geben wir detaillierte Formeln für verschiedene Matrizenordnungen an, um die Determinante mit verschiedenen Methoden zu ermitteln

Für die 2x2-Matrixmultiplikation:

Unabhängig davon, welche Berechnungsmethode Sie wählen, wird die Determinante der Matrix A = (aij)2×2 bestimmt durch:

$det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \\$

$det⁡ A = ad-bc$

Beispiel:

Finden Sie die Determinante der 2x2-Matrix A

 

$det A = \begin{vmatrix} 4 & 12 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} \\$

 

Lösung:

 

$|A|. = (7)(4) – (2)(12)$

 

$|A|. = 28 – 24$

 

$|A|. = 4$

 

Für die 3x3-Matrixmultiplikation:

Berechnen Sie die Matrix A=(aij)3×3 basierend auf der Spaltenerweiterung, die durch die folgende Formel bestimmt wird:

 

$det A = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f \\g & h & i \end{vmatrix} \\$

 

$det⁡ A= a\begin{vmatrix} e & f \\h & i\end{vmatrix} - d\begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix} b & c \\e & f\end{vmatrix}$

 

Beispiel:

 

$det A = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3\\1 & 4 & 1 \\0 & 4 & 7 \end{vmatrix} \\$

 

Lösung:

 

$det⁡ A= 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\4 & 7\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 7\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 0 & 3 \\4 & 1\end{vmatrix}$

 

$det⁡ A = 2[(7)(4)-(4)(1)]-1[(4)(3)-(7)(0)]+ 0[(4)(3)-(1) (0)]$

 

$det⁡ A = 2[28-4]-1[12-0]+ 0[12-0]$

 

$det⁡ A = 2[24]-1[12]+ 0[12]$

 

$det⁡ A = 48-12+ 0$

 

$det⁡ A = 36$

Für die 4x4-Matrixmultiplikation:

Für die Berechnungen der Matrix wird A = (aij)4×4 aus der Spaltenerweiterung durch die folgende Formel bestimmt:

 

$det A = \begin{vmatrix} a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix} \\$

 

$det⁡ A= a\begin{vmatrix} f & g & h\\j & k & l\\n & o & p\end{vmatrix} - e\begin{vmatrix}b & c & d\\j & k & l\\ n & o & p\end{vmatrix}+i\begin{vmatrix}b & c & d \\f & g & h\\n & o & p\end{vmatrix}-m\begin {vmatrix}b & c & d\\f & g & h\\j & k & l\end {vmatrix}$

 

Bestimmen Sie dann einfach die Determinante von 3x3, indem Sie die obige Formel für 3x3 verwenden.

Beispiel:

$det A = \begin{vmatrix} 1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6 \end{vmatrix} \\$

Lösung:

$det⁡ A= 1\begin{vmatrix}4 & 3  & 8\\4 & 3 & 2\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}  - 2\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 2\\ 4 & 9 & 6\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2 \\4 & 3 & 8\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 8\\4 & 3 & 2\end {vmatrix}$

 

$det⁡ A=1( 4\begin{vmatrix} 3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  - 3\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -2( 8\begin{vmatrix} 3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  - 7\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) +1( 8\begin{vmatrix}3 & 8 \\9 & 6\end{vmatrix}  - 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -1( 8\begin{vmatrix} 3 & 8 \\3 & 2\end{vmatrix}  - 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 3\end{vmatrix})$

 

$det⁡ A = 1[4(18-18)-3(24-8)+ 8(36-12)]-2[ 8(18-18)-7(24-8)+ 2(36-12)]+ 1[ 8(18-72)-7(24-32)+2(36-12)] -1[8(6-24)-7(8-32)+ 2(12-12)]$

 

$det⁡ A = 1[4(0)-3(16)+ 8(24)]-2[ 8(0)-7(16)+ 2(24)]+ 1[ 8(-54)-7(-8)+ 2(24)]-1[8(-18)-7(-24)+ 2(0)]$

 

$det⁡ A = 1[0-48+192]-2[0-112+48]+ 1[ -432+56+48]-1[-144+168+0]$

 

$det⁡ A = 1[144]-2[-64]+ 1[-328]-1[24]$

 

$det⁡ A = 144+128-328- 24$

 

$det⁡ A = -80$

Für die 5x5-Matrixmultiplikation:

Gemäß der Spaltenerweiterung wird die Berechnung der Matrix A=(aij)5×5 durch die folgende Formel bestimmt:

$det A = \begin{vmatrix} a & b & c & d & e\\f & g & h & i & j\\k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \\ u & v & w & x & y \end{vmatrix} \\$

$det⁡ A= a\begin{vmatrix} g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix} - f\begin{vmatrix}b & c & d & e\\l & m & n & o\\ q & r & s & t\\ v & w & x & y\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}b & c & d & e \\ g & h & i & j\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b & c & d & e\\g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\end {vmatrix}\\$