Primfaktorzerlegungsrechner
Mit dem Online-Tool zur Primfaktorzerlegung können Sie die Primfaktorzerlegung einer Zahl ermitteln.
Gilt für ganze Zahlen zwischen 2 und 9007199254740991
Bei der Primfaktorzerlegung wird eine Zahl anhand ihrer Primzahlen faktorisiert, d. h. die Faktoren sind Primzahlen. Hier wurden alle Konzepte von Primfaktoren und Primfaktorisierungsmethoden erklärt, die den Schülern helfen sollen, zu verstehen, wie sie die Primfaktoren einer Zahl einfach finden können .
Der einfachste Algorithmus zum Ermitteln der Primfaktoren einer Zahl besteht darin, die ursprüngliche Zahl so lange durch die Primfaktoren zu dividieren, bis der Rest gleich 1 ist. Wenn wir beispielsweise die Primzahlen faktorisieren, erhalten wir die Zahl 30, 30/2 = 15, 15/3 = 5, 5/5 = 1. Da wir den Rest erhalten, kann dieser nicht weiter zerlegt werden. Daher ist 30 = 2 x 3 x 5, wobei 2, 3 und 5 Primfaktoren sind.
Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw. Die Multiplikation dieser Primzahlen mit einer beliebigen natürlichen Zahl ergibt eine zusammengesetzte Zahl.
Was ist Primfaktorzerlegung?
Unter Primfaktorzerlegung versteht man eine Methode zum Ermitteln der Primfaktoren einer Zahl, sodass die ursprüngliche Zahl durch diese Faktoren teilbar ist. Wie wir alle wissen, haben zusammengesetzte Zahlen mehr als zwei Faktoren, daher gilt diese Methode nur für zusammengesetzte Zahlen, nicht für Primzahlen.
Die Primfaktoren von 126 wären beispielsweise 2, 3 und 7, da 2 × 3 × 3 × 7 = 126 und 2, 3 und 7 Primzahlen sind.
Beispiel für die Zerlegung von Primzahlen
- Die Primfaktorzerlegung von 12 ist 2 × 2 × 3 = 2 2 × 3
- Die Primzahl 18 zerfällt in 2 × 3 × 3 = 2 × 3 2
- Die Primzahl 24 wird in 2 × 2 × 2 × 3 = 2 3 × 3 zerlegt
- Die Primzahl 20 zerfällt in 2 × 2 × 5 = 2 2 × 5
- Die Primfaktorzerlegung von 36 ist 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
Primfaktorzerlegung von HCF und LCM
Wenn eine Primzahl mit einer natürlichen Zahl oder einer ganzen Zahl (aber nicht mit 0) multipliziert wird, erhält man eine zusammengesetzte Zahl. Zerlegen Sie also zusammengesetzte Zahlen grundsätzlich in Primfaktoren, um sie zu zerlegen und die Primzahlen zu finden. Diese Methode wird auch verwendet, wenn der HCF (höchster gemeinsamer Faktor) und der LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) einer bestimmten Zahlenmenge ermittelt werden sollen.
Wenn zwei beliebige Zahlen angegeben werden, ist der größte gemeinsame Faktor der größte in den beiden Zahlen vorhandene Faktor, während das kleinste gemeinsame Vielfache das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen ist.
Primfaktoren von Zahlen
Die Primzahl einer Zahl ist eine Menge von Primzahlen, die, wenn sie miteinander multipliziert werden, die tatsächliche Zahl ergeben. Darüber hinaus können wir sagen, dass Primfaktoren perfekte Teiler sind. Es ähnelt der Faktorisierung einer Zahl und der Berücksichtigung nur der Primzahlen in den Faktoren. Beispielsweise sind die Primfaktoren von 6 2 und 3, die Primfaktoren von 26 sind 13 und 2 und so weiter.
Methode der Primfaktorzerlegung
Die am häufigsten verwendeten Methoden zur Primzahlzerlegung sind:
- Division
- Faktorbaum-Methode
Division
Die Schritte zum Berechnen der Primfaktoren einer Zahl ähneln dem Verfahren zum Ermitteln der Faktoren einer großen Zahl. Befolgen Sie diese Schritte, um die Primfaktoren einer Zahl durch Division zu ermitteln:
- Schritt 1: Teilen Sie die angegebene Zahl durch die kleinste Primzahl. In diesem Fall sollte die kleinste Primzahl diese Zahl genau teilen.
- Schritt 2: Teilen Sie den Quotienten erneut durch die kleinste Primzahl.
- Schritt 3: Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis der Quotient 1 wird.
- Schritt 4: Zum Schluss multiplizieren Sie alle Primfaktoren miteinander
Divisionsbeispiel für die Primfaktorzerlegung:
Im Folgenden wird 460 als Beispiel verwendet, um den schrittweisen Prozess der Primfaktorzerlegung im Detail zu erläutern.
- Schritt 1: Teilen Sie 460 durch die kleinste Primzahl, also 2.
Also 460 ÷ 2 = 230
- Schritt 2: Teilen Sie 230 erneut durch die kleinste Primzahl (wieder 2).
Nun, 160 ÷ 2 = 115
- Schritt 3: Teilen Sie erneut durch die kleinste Primzahl, also 5.
Also 115 ÷ 5 = 23
- Schritt 4: Da 23 eine Primzahl ist, dividieren Sie sie durch sich selbst, um 1 zu erhalten.
Nun sind die Primfaktoren von 460 2 2 x 5 x 23
Faktorbaum-Methode
Gehen Sie folgendermaßen vor, um die Primfaktorzerlegung einer bestimmten Zahl mithilfe der Faktorbaummethode zu ermitteln:
- Schritt 1: Behandeln Sie die angegebene Zahl als Wurzel des Baums
- Schritt 2: Schreiben Sie das Faktorenpaar als Zweige des Baums
- Schritt 3: Faktorisieren Sie die zusammengesetzten Faktoren erneut und schreiben Sie die Faktorpaare als Zweige
- Schritt 4: Wiederholen Sie die obigen Schritte, bis Sie die Primfaktoren aller zusammengesetzten Faktoren gefunden haben
In einem Faktorbaum werden Faktoren einer Zahl gefunden und diese Zahlen dann weiter zerlegt, bis wir den Abschluss erreichen. Angenommen, wir müssen mithilfe von Faktorbäumen die Faktoren 60 und 282 ermitteln. Schauen Sie sich dann das untenstehende Diagramm an, um dieses Konzept zu verstehen.
Im Bild oben können wir die Zahl 60 zunächst in zwei Zahlen zerlegen, 6 und 10. Faktorisieren Sie erneut 6 und 10 in Primfaktoren von 6 und 10, so;
6 = 2 x 3
und 10 = 2 x 5
Wenn wir die Primfaktoren von insgesamt 60 aufschreiben, dann;
Primfaktorzerlegung von 60 = 6 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5
Das Gleiche gilt beispielsweise für die Zahl 282;
282 = 2 x 141 = 2 x 3 x 47
In beiden Fällen entsteht also eine Baumstruktur.