Exponentialgleichungsrechner

Exponentialgleichungen tauchen in vielen Arten mathematischer Modellierungsprobleme auf, beispielsweise bei Zinseszinsen, Zellkulturwachstum und radioaktivem Zerfall. Es kann Situationen geben, in denen Sie den Schnittpunkt zweier Exponentialgleichungen finden müssen, d. h. die Gleichung der Form ab  x  = cd  x

Lösen Sie nach ab x = cd x 
a =     b =  
c =     d =  

 Die folgenden Methoden und Beispiele zeigen Ihnen, wie Sie diese Gleichungen lösen, oder Sie können den Rechner zur Lösung exponentieller Gleichungen auf der linken Seite verwenden.

(Schritt 1) ​​Berechnen Sie zunächst den Logarithmus beider Seiten der Gleichung. Sie können Log 10 oder die natürliche Logarithmusfunktion Ln verwenden. In diesem Beispiel verwenden wir Ln. Daher ist

Ln(  ab  x  ) = Ln(  cd  x  )

(Schritt 2) Nutzen Sie die Eigenschaften von Logarithmen, um beide Seiten in einfachere Ausdrücke aufzuteilen.

Ln(  a  ) + Ln(  b  x  ) = Ln(  c  ) + Ln(  dx  )  Ln(  a  ) +  x  Ln(  b  ) = Ln(  c  ) +  x  Ln(  d  )  Nun ist die Gleichung linear in x von. (  Schritt 3) Verwenden Sie Algebra, um x x  Ln  (  b  )  -  x  Ln  (  d  )  = Ln  (  c  ) -  Ln  (  a  ) a  ) x  = [Ln(  c  )-Ln(  a  )]/[Ln(  b) zu  lösen )-Ln(  d  )] x  = Ln(  c  /  a  )/Ln(  b  /  d  )  hat eine eindeutige Lösung x, solange a und c das gleiche Vorzeichen haben und b und d beide positiv und nicht gleich sind Beispiel 1: Zhang San investiert 5.000 Yuan auf ein Konto mit einer jährlichen Wachstumsrate von 3,3 % und Li Si investiert 7.600 Yuan auf ein Konto mit einer jährlichen Wachstumsrate von 2,1 %. Weder Zhang San noch Li Si haben Einzahlungen oder Abhebungen von ihren Konten vorgenommen. In wie vielen Jahren wird das Geld auf Zhang Sans Konto höher sein als das von Li Si? Die Funktion, die Johns Konto simuliert, ist 5000(1,033)^x, und die Funktion, die Johns Konto simuliert, ist 7600(1,021) ^  x, wobei x die Anzahl der Jahre ist. Um herauszufinden, wann zwei Konten gleich sind, lösen wir die Gleichung 5000(1,033) ^  x = 7600(1,021) ^  x. Mit der oben beschriebenen Methode erhalten wir x = Ln(7600/5000)/Ln(1,033/1,02) oder x = 85,83 Jahre, also etwa 35 Jahre und 10 Monate. Ab diesem Zeitpunkt wird das Konto von Zhang San immer mehr Geld haben als das Konto von Xiaolu. Beispiel 2: Zum Zeitpunkt = 0 nimmt Zellkultur A 0,20 cm 2 Platz in einer Kulturschale ein und Zellkultur B nimmt 0,97 cm 2 Platz in einer anderen Kulturschale ein. Zellkultur A wuchs mit einer kontinuierlichen Rate von 5,2 % pro Stunde, während Zellkultur B mit einer kontinuierlichen Rate von 2,9 % pro Stunde wuchs. Wenn zwei Zellkulturen gleich groß sind? Wie groß wäre das? Die Funktion, die das Wachstum der Zellkultur A simuliert, beträgt 0,20e 0,052x und die Funktion, die das Wachstum der Zellkultur B simuliert, beträgt 0,97e 0,029x, wobei x die Anzahl der Stunden und e eine kontinuierliche zusammengesetzte Konstante ist, ungefähr 2,718281828459045. Das Gleichsetzen der beiden Gleichungen und das Auflösen nach x ergibt 0,20e  0,052x  = 0,97e  0,029x Ln(0,20) + 0,052  x  Ln(e) = Ln(0,97) + 0,029  x  Ln(e) Ln(0,20) + 0,052  x  = Ln (0,97) + 0,029  x  ( Ln(e) = 1 ) 0,023  x  = Ln(0,97) - Ln(0,20) x  = [Ln(0,97) - Ln(0,20)]/0,023 = 68,65 Stunden, also 68 Stunden und 39 Minuten.  Um die Größe der Kultur bei x = 68,65 Stunden zu ermitteln, setzen Sie diesen Wert in die Gleichung für Kultur A oder Kultur B ein.