Linearer Unabhängigkeitsrechner

Mit dem Online-Rechner für lineare Unabhängigkeit können Sie die lineare Unabhängigkeit und Abhängigkeit zwischen Vektoren bestimmen. Dies ist eine sehr wichtige Idee in der linearen Algebra und erfordert das Verständnis des Konzepts der Vektorunabhängigkeit. In diesem Artikel erklären wir, was abhängige und unabhängige Variablen sind, und erklären, wie man ermittelt, ob Vektoren linear unabhängig sind.

Was sind lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit?

Wenn es in einem Vektorraum eine nichttriviale Linearkombination von Vektoren gleich Null gibt, wird die Vektormenge als linear abhängig bezeichnet. Wenn keine Linearkombinationen existieren, spricht man von linear unabhängigen Vektoren. Wenn die Gleichung lautet$a_1 * v_1 + a_2 * v_2 + a_3 * v_3 + a_4 * v_4 + ... + a_{n – 1} * v_{n – 1} + a_n * v_n = 0$,Aber$v_1, v_2, v_3, v_4,..., v_{n – 1}, v_n$sind linear unabhängige Vektoren.

Hier ist Null (0) ein Vektor, der genau dann für alle Koordinaten gilt, wenn$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{n-1} + a_n = 0$.

Ansonsten können wir sagen, dass die Vektoren linear abhängig sind. Die einzige lineare Vektorkombination, die einen Nullvektor liefert, heißt trivial.

Zum Beispiel v = (2, -1), dann nimm auch$e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1)$.

Dann$1 * e_2 + (-2) * e_1 + 1 * v = 1 * (0, 1) + (-2) * (1, 0) + 1 * (2, -1) = (0, 1) + ( -2, 0) + (2, -1) = (0, 0)$, wir finden daher eine nicht triviale Kombination von Vektoren, die Null liefert. Daher sind sie linear abhängig. Darüber hinaus können wir sehen$e_1 und e_2$Es gibt kein Problem. Die Vektoren V sind linear unabhängige Vektoren.

Der Online-Wronski-Rechner hilft Ihnen jedoch dabei, den Wronski-Wert eines bestimmten Satzes von Funktionen zu bestimmen.

Wie überprüft man die lineare Abhängigkeit?

Um die lineare Abhängigkeit zu überprüfen, ändern wir die Werte von Vektoren in Matrizen. Zum Beispiel drei Vektoren in zwei Dimensionen:$V (a_1, a_2), W (b_1, b_2), V (c_1, c_2)$, und schreiben Sie dann ihre Koordinaten als Matrix, wobei jede Zeile einem der Vektoren entspricht.$$M = |D|= \left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_1 & \\b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{array}\right|$$ 

$$M = |D|= \left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_1 & \\b_1 & b_2\\c_1 & c_2\end{array}\right|$$

Dann ist der Matrixrang gleich der maximalen Anzahl unabhängiger Vektoren zwischen w, v und u.

Wie erkennt man, ob Vektoren linear unabhängig sind?

Um zu überprüfen, ob Vektoren linear unabhängig sind, kann der Online-Rechner für lineare Unabhängigkeit ermitteln, ob eine beliebige Menge von Vektoren linear unabhängig ist. Wenn Sie es manuell überprüfen möchten, kann Ihnen das folgende Beispiel helfen, es besser zu verstehen.

Beispiel 1:

Finden Sie den Wert von h, von dem ein Vektor linear abhängt$h_1 = {1, 1, 0}, h_2 = {2, 5, -3}, h_3 = {1, 2, 7}$in 3 Dimensionen und dann herausfinden, ob sie linear unabhängig oder nichtlinear sind?

Lösung:

Wenn die Determinante der Vektoren A, B, C Null ist, dann sind sie linear abhängig. Das ist |D|=0

 

$$A = (1, 1, 0), B = (2, 5, −3), C = (1, 2, 7)$$

 

$$|D|= \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0\\2 & 5 & -3\\1 & 2 & 7\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 \times \left|\begin{array}{cc}5 & -3\\2 & 7\end{array}\right|- (1) \times \left|\begin{array}{ cc}2 & -3\\1 & 7\end{array}\right|+ (0) \times \left|\begin{array}{cc}2 & 5\\1 & 2\end{array}\ richtig|$$

 

$$|D|= 1 × ((5) × (7) − (−3) × (2)) − (1) × (2) × (7) − ( − 3) × (1)) + (0) × (2) × (2) − (5) × (1))$$

 

$$|D|= 1 × ((35) − (- 6)) − (1) × ((14) − (− 3)) + (0) × ((4) − (5))$$

 

$$|D|=1 × (41) − (1) × (17) + (0) × (− 1)$$

 

$$|D = (41) − (17) + (0)$$

 

$$|D|= 24$$

 

$$|D|= 24 ≠ 0$$

 

Da |D|≠ 0 ist, sind die Vektoren A, B und C linear unabhängig.

Beispiel 2:

Wenn der dreidimensionale Vektor ist$v_1 = {1, 1, 1}, v_2 = {1, 1, 1}, v_3 = {1, 1, 1}$Bestimmt, ob Vektoren linear unabhängig sind.

Antwort:

Wenn ihre Determinante Null ist. Das heißt, |D|=0, dann überprüfen Sie die linear unabhängigen Vektoren A, B und C.

 

$$A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 1), C = (1, 1, 1)$$

 

$$|D|= \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right|$$

 

$$|D|=1×|1111|−(1)×|1111|+(1)×|1111|$$

 

$$|D|= 1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|- (1) \times \left|\begin{array}{cc }1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|+ (1) \times \left|\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right|$$

 

$$|D|= 1 × ((1) − (1)) − (1) × ((1) − (1)) + (1) × ((1) − (1))$$

 

$$|D|= 1 × (0) − (1) × (0) + (1) × (0)$$

 

$$|D|= (0) − (0) + (0)$$

 

$$|D|= 0$$

 

Da |D|= 0 ist, sind die Vektoren A, B und C linear abhängig.

Mit dem Online-Jacobi-Rechner können Sie jedoch die Menge der Funktionen und die Determinante der Jacobi-Matrix ermitteln.

Wie funktioniert der lineare Unabhängigkeitsrechner?

Der Online-Rechner für lineare Abhängigkeiten prüft, ob ein bestimmter Vektor abhängig oder unabhängig ist, indem er die folgenden Schritte durchführt:

eingeben:

• Wählen Sie zunächst die Anzahl der Vektoren und Koordinaten aus den Dropdown-Listen aus.
• Ersetzen Sie nun die angegebenen Werte oder fügen Sie in allen Feldern Zufallswerte hinzu, indem Sie auf die Schaltfläche „Werte generieren“ klicken.
• Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.

Ausgabe:

• Der lineare Unabhängigkeitsrechner ermittelt zunächst, ob die Vektoren unabhängig oder abhängig sind.
• Verwenden Sie dann den linear unabhängigen Matrixrechner, um die Determinante des Vektors zu ermitteln und eine umfassende Lösung bereitzustellen.

FAQ:

Wie kann man überprüfen, ob Vektoren linear unabhängig sind?

Wenn die Determinante der Vektoren A, B, C Null ist, dann sind die Vektoren linear abhängig. Darüber hinaus sind Vektoren linear abhängig, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Wie erkennt man, ob eine Matrix linear unabhängig ist?

Zunächst müssen wir die Matrix in ein reduziertes Trapez umwandeln. Wenn wir eine Identitätsmatrix erhalten, sind die gegebenen Matrizen linear unabhängig.