Matrix-Rechner
In der Mathematik ist eine Matrix eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Matrizen werden häufig in wissenschaftlichen Bereichen wie Physik, Computergrafik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Analysis, numerischer Analyse usw. verwendet.
Die Abmessungen der Matrix A werden normalerweise als m × n ausgedrückt . Das bedeutet, dass A m Zeilen und n Spalten hat . Wenn man sich auf bestimmte Werte (Elemente genannt) in einer Matrix bezieht, verwendet man üblicherweise eine Variable mit zwei Indizes, um jedes Element entsprechend seiner Position in der Matrix darzustellen. Wenn beispielsweise a i,j mit i = 1 und j = 3 gegeben ist , sind a 1,3 die Werte der Elemente in der ersten Zeile und dritten Spalte der gegebenen Matrix.
Matrixoperationen wie Addition, Multiplikation, Subtraktion usw. ähneln denen, die die meisten Menschen wahrscheinlich aus der Grundrechenart und Algebra kennen, sie unterscheiden sich jedoch in einigen Punkten und unterliegen bestimmten Einschränkungen. Nachfolgend finden Sie Beschreibungen der Matrixoperationen, die dieser Rechner ausführen kann.
Matrixaddition
Die Matrixaddition kann nur für Matrizen gleicher Größe durchgeführt werden. Das bedeutet, dass Sie Matrizen nur hinzufügen können, wenn beide Matrizen m × n sind . Sie können beispielsweise zwei oder mehr 3 × 3-, 1 × 2- oder 5 × 4- Matrizen hinzufügen. Sie können keine 2 × 3- und 3 × 2- Matrizen, 4 × 4 und 3 × 3 usw. hinzufügen . Die Anzahl der Zeilen und Spalten aller hinzuzufügenden Matrizen muss genau übereinstimmen.
Wenn die Matrizen die gleiche Größe haben, erfolgt die Matrixaddition durch Addition der entsprechenden Elemente in den Matrizen. Wenn beispielsweise zwei Matrizen A und B gegeben sind, deren Elemente a i,j und b i,j sind , fügen Sie die Matrizen hinzu, indem Sie jedes Element hinzufügen, und fügen Sie dann das Ergebnis in die entsprechende Positionsmatrix in der neuen Matrix C ein:
In der obigen Matrix ist a 1,1 = 1 ; b 1,2 = 5 ; Wir addieren die entsprechenden Elemente, um c i,j zu erhalten . Fügen Sie die Werte aus den entsprechenden Zeilen und Spalten hinzu:
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a 1,1 + b 1,1 = 1 + 5 = 6 = c 1,1
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a 1,2 + b 1,2 = 2 + 6 = 8 = c 1,2
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a 2,1 + b 2,1 = 3 + 7 = 10 = c 2,1
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a 2,2 + b 2,2 = 4 + 8 = 12 = c 2,2
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Daher ist Matrix C :
Matrixsubtraktion
Die Matrixsubtraktion wird weitgehend auf die gleiche Weise wie die oben beschriebene Matrixaddition durchgeführt, mit der Ausnahme, dass die Werte subtrahiert und nicht addiert werden. Eine Erläuterung der in den folgenden Beispielen verwendeten Symbole finden Sie bei Bedarf in den Informationen und Beispielen oben. Wie bei der Matrizenaddition müssen die zu subtrahierenden Matrizen die gleiche Größe haben. Wenn die Matrizen die gleiche Größe haben, führen Sie eine Matrixsubtraktion durch, indem Sie die Elemente in den entsprechenden Zeilen und Spalten subtrahieren:
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a 1,1 - b 1,1 = 1 - 5 = -4 = c 1,1
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a 1,2 - b 1,2 = 2 - 6 = -4 = c 1,2
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a 2,1 - b 2,1 = 3 - 7 = -4 = c 2,1
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a 2,2 - b 2,2 = 4 - 8 = -4 = c 2,2
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Daher ist Matrix C :
Matrixmultiplikation
Skalarmultiplikation:
Eine Matrix kann mit einem Skalarwert multipliziert werden, indem jedes Element in der Matrix mit einem Skalar multipliziert wird. Beispiel: Gegeben sei eine Matrix A und ein Skalar c :
Das Produkt von c und A ist:
Matrix-Matrix-Multiplikation:
Die Multiplikation zweier (oder mehrerer) Matrizen ist komplizierter als die Multiplikation eines Skalars. Um zwei Matrizen zu multiplizieren, muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix übereinstimmen. Sie können beispielsweise eine 2 × 3- Matrix mit einer 3 × 4- Matrix multiplizieren, aber Sie können eine 2 × 3- Matrix nicht mit einer 4 × 3-Matrix multiplizieren.
Kann multipliziert werden mit:
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A =
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ein 1,1
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ein 1,2
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ein 1,3
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ein 2,1
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ein 2,2
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ein 2,3
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; B =
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b 1,1
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b 1,2
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b 1,3
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b 1,4
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b 2,1
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b 2,2
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b 2,3
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b 2,4
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b 3,1
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b 3,2
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b 3,3
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b 3,4
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Nicht multiplizierbar:
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A =
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ein 1,1
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ein 1,2
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ein 1,3
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ein 2,1
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ein 2,2
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ein 2,3
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; B =
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b 1,1
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b 1,2
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b 1,3
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b 2,1
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b 2,2
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b 2,3
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b 3,1
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b 3,2
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b 3,3
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b 4,1
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b 4,2
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b 4,3
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Beachten Sie, dass bei der Multiplikation von Matrizen A × B nicht unbedingt B × A entspricht . Nur weil A mit B multipliziert werden kann, heißt das nicht, dass B mit A multipliziert werden kann .
Wenn die Matrizen die richtige Größe haben und multipliziert werden können, werden die Matrizen multipliziert, indem ein sogenanntes Skalarprodukt erstellt wird. Beim Skalarprodukt werden die entsprechenden Elemente in den Zeilen der ersten Matrix mit den Elementen in den Spalten der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse addiert, wodurch ein einzelner Wert entsteht. Punktprodukte können nur für Folgen gleicher Länge durchgeführt werden. Deshalb muss die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmen.
Die Skalarprodukte werden dann zu den Werten in den entsprechenden Zeilen und Spalten der neuen Matrix C. Beispielsweise können Sie aus dem obigen Teil der Matrix die blauen Zeilen in A mit den blauen Spalten in B multiplizieren, um die Matrix zu bestimmenDer Wert in der ersten Spalte der ersten Zeile von C. Dies wird Zeile 1 von A und genannt
