Rechner für negative Binomialverteilung
Der Rechner für die negative Binomialverteilung ist ein Werkzeug zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der negativen Binomialverteilung. Bei diesem Verteilungstyp handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Versuche beschreibt, die erforderlich sind, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Dabei handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung, die die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine feste Anzahl von Versuchen in einer gegebenen Anzahl von Versuchen beschreibt.
Die negative Binomialverteilung wird durch zwei Parameter charakterisiert: die erforderliche Anzahl an Erfolgen (k) und die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch (p). Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der negativen Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, in einer Reihe unabhängiger und identisch verteilter Bernoulli-Versuche die r Erfolge vor dem k Erfolg zu beobachten. Die kumulative Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, vor dem k-ten Erfolg höchstens r Erfolge zu beobachten.
Die negative Binomialverteilung wird typischerweise verwendet, wenn die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen, zufällig ist. Es hängt auch mit der geometrischen Verteilung zusammen, die die Wahrscheinlichkeit des ersten Erfolgs beim zweiten Versuch beschreibt. Die Varianz und der Erwartungswert der negativen Binomialverteilung können mithilfe von Formeln berechnet werden, die von den k- und p-Werten abhängen. Mit dem Rechner für negative Binomialverteilungen können diese Werte für einen bestimmten Parametersatz schnell und einfach berechnet werden.
Zusammenfassend ist der Rechner für die negative Binomialverteilung ein nützliches Werkzeug zur Berechnung der mit der negativen Binomialverteilung verbundenen Wahrscheinlichkeiten. Diese Verteilung beschreibt die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen, und hängt mit der Binomial- und der geometrischen Verteilung zusammen. Mit diesem Rechner können die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, die kumulative Verteilungsfunktion, die Varianz und der Erwartungswert der negativen Binomialverteilung für einen bestimmten Parametersatz berechnet werden.
Was ist die negative Binomialverteilung?
Die negative Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Fehler vor einer festen Anzahl von Erfolgen in einer Reihe unabhängiger und identisch verteilter Bernoulli-Versuche modelliert. Sie wird auch Pascal-Verteilung oder Polya-Verteilung genannt.
In der negativen Binomialverteilung wird die Erfolgswahrscheinlichkeit durch p und die Anzahl der erforderlichen Erfolge durch r dargestellt. Die Zufallsvariable X stellt die Anzahl der Fehlschläge vor dem r-ten Erfolg dar.
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der negativen Binomialverteilung ist gegeben durch:
P(X = k) = (k + r - 1) Wählen Sie (r - 1) * p^r * (1 - p)^k
wobei (k + r – 1) wählt (r – 1) ist der Binomialkoeffizient.
Der Mittelwert der negativen Binomialverteilung ist gegeben durch:
E(X) = r*(1-p)/p
Die Varianz ist gegeben durch:
Variable (X) = r * (1 - p) / p^2
Die kumulative Verteilungsfunktion der negativen Binomialverteilung kann durch eine regulierte unvollständige Betafunktion dargestellt werden.
Die negative Binomialverteilung steht in engem Zusammenhang mit der geometrischen Verteilung, die die Anzahl der Versuche modelliert, die erforderlich sind, um den ersten Erfolg zu erzielen. Tatsächlich wird die negative Binomialverteilung manchmal als „verallgemeinerte geometrische Verteilung“ bezeichnet.
Die negative Binomialverteilung findet in vielen Bereichen Anwendung, beispielsweise in der Zuverlässigkeitstechnik, der Warteschlangentheorie und der Epidemiologie. Beispielsweise lässt sich damit die Anzahl fehlerhafter Artikel in einer Stichprobe oder die Anzahl der Infektionen in einer Population modellieren.
Zusammenfassend ist die negative Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Fehler vor einer festen Anzahl von Erfolgen in einer Reihe unabhängiger und identisch verteilter Bernoulli-Versuche modelliert. Es handelt sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit möglichen Werten im Bereich von 0 bis unendlich. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und die kumulative Verteilungsfunktion können mithilfe von Binomialkoeffizienten bzw. regulierten unvollständigen Betafunktionen berechnet werden. Sie können auch den Mittelwert und die Varianz einer Verteilung berechnen.
Wie berechnet man eine negative Binomialverteilung?
Die Berechnung der negativen Binomialverteilung erfordert das Verständnis mehrerer Schlüsselfaktoren. Zu diesen Faktoren gehören Erfolgswahrscheinlichkeit, Anzahl der Erfolge, Zufallsvariablen, Durchschnittswerte, mögliche Werte, Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen, kumulative Verteilungsfunktionen, Varianzen und Formeln.
Um die negative Binomialverteilung zu berechnen, müssen Sie zunächst die Binomialverteilung verstehen. Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen beschreibt. Die negative Binomialverteilung ist eine Verallgemeinerung der Binomialverteilung und beschreibt die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen.
Um die negative Binomialverteilung zu berechnen, müssen Sie zunächst die Erfolgswahrscheinlichkeit ermitteln. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem bestimmten Versuch ein erfolgreiches Ergebnis zu erzielen. Dieser Wert wird durch den Buchstaben „p“ dargestellt.
Als nächstes muss die Anzahl der Erfolge ermittelt werden. Die Anzahl der Erfolge ist eine feste Anzahl erforderlicher erfolgreicher Ergebnisse. Dieser Wert wird durch den Buchstaben „k“ dargestellt.
Die Zufallsvariable ist die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um eine festgelegte Anzahl an Erfolgen zu erzielen. Dieser Wert wird durch den Buchstaben „x“ dargestellt.
Der Durchschnitt ist die erwartete Anzahl von Versuchen, die erforderlich sind, um eine festgelegte Anzahl von Erfolgen zu erzielen. Dieser Wert wird durch die Buchstaben „μ“ dargestellt.
Mögliche Werte sind die ganzzahligen Werte der Zufallsvariablen x. Diese Werte reichen von k bis unendlich.
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses beschreibt. Diese Funktion wird durch die Buchstaben „P(x=k)“ dargestellt.
Die kumulative Verteilungsfunktion ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, k oder weniger Erfolge zu erzielen. Diese Funktion wird durch die Buchstaben „F(k)“ dargestellt.
Varianz ist ein Maß für die Verteilung. Dieser Wert wird durch die Buchstaben „σ^2“ dargestellt.
Die Formel zur Berechnung der negativen Binomialverteilung lautet:
P(x=k) = (k-1) C (r-1) * p^r * (1-p)^(kr)
Wobei „C“ der Binomialkoeffizient ist, berechnet als:
C(n,r) = n! / (r! * (nr)!)
Ein Beispiel für die Verwendung des Rechners für die negative Binomialverteilung ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von drei Erfolgen aus zehn Versuchen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,4. Der Rechner verwendet die Formeln und Werte für k, p und r, um die Wahrscheinlichkeit von 3 Erfolgen aus 10 Versuchen zu bestimmen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Berechnung der negativen Binomialverteilung das Verständnis mehrerer Schlüsselfaktoren erfordert, darunter Erfolgswahrscheinlichkeit, Anzahl der Erfolge, Zufallsvariablen, Mittelwert, mögliche Werte, Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, kumulative Verteilungsfunktion, Varianz und Formel. Durch das Verständnis dieser Faktoren und die Verwendung eines Rechners für negative Binomialverteilungen lässt sich die Erfolgswahrscheinlichkeit beim Erreichen einer festen Zahl in einer bestimmten Anzahl von Versuchen leicht berechnen.
Negative Binomialverteilung und geometrische Verteilung
In Bezug auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden in verschiedenen Bereichen häufig negative Binomialverteilungen und geometrische Verteilungen verwendet. Obwohl sie einige Gemeinsamkeiten aufweisen, weisen sie auch einige wesentliche Unterschiede auf. In diesem Abschnitt werden wir die Unterschiede zwischen diesen beiden Verteilungen untersuchen.
Definition
Die negative Binomialverteilung und die geometrische Verteilung sind beide diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die negative Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Fehler, die auftreten, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Reihe unabhängiger und identischer Bernoulli-Versuche erreicht wird. Die geometrische Verteilung hingegen modelliert die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einer Reihe unabhängiger und identischer Bernoulli-Versuche den ersten Erfolg zu erzielen.
Notation
Die Darstellung der negativen Binomialverteilung ist wie folgt:
- R: die Anzahl der Erfolge, die erreicht werden müssen
- P: Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch
- x: die Anzahl der Fehler, bevor der r-te Erfolg erzielt wird
Die Darstellung der geometrischen Verteilung ist wie folgt:
- P: Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch
- X: Anzahl der Versuche, die für den ersten Erfolg erforderlich sind
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) der negativen Binomialverteilung ist:
P(X = x) = (x + r - 1) wähle (r - 1) * p^r * (1 - p)^x
Die PMF der geometrischen Verteilung ist:
P(X=x)=p*(1-p)^(x-1)
kumulative Verteilungsfunktion
Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der negativen Binomialverteilung ist:
F(X <= x) = I(p, r, x)
wobei I die unvollständige Beta-Funktion ist.
Der CDF der geometrischen Verteilung ist:
F(X <= x) = 1 - (1 - p)^x
Unterschied
Ein wesentlicher Unterschied zwischen der negativen Binomialverteilung und der geometrischen Verteilung ist die Anzahl der Erfolge, die erzielt werden müssen. Bei der negativen Binomialverteilung muss eine feste Anzahl an Erfolgen erreicht werden, bevor das Experiment als abgeschlossen gilt. Bei der geometrischen Verteilung ist nur ein Erfolg erforderlich.
Ein weiterer Unterschied besteht in der Anzahl der erforderlichen Versuche. Bei der negativen Binomialverteilung ist die Anzahl der Versuche nicht festgelegt und kann abhängig von der Anzahl der Fehler, die auftreten, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen erreicht wird, variieren. In der geometrischen Verteilung ist die Anzahl der erforderlichen Versuche auf 1 festgelegt.
Beispiel
Angenommen, ein Unternehmen führt eine Umfrage durch, um festzustellen, wie viele von zehn Personen ihr Produkt kaufen werden. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person das Produkt kauft, 0,4 beträgt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Personen das Produkt kaufen?
Unter Verwendung der negativen Binomialverteilung können wir r = 3 und x = 7 setzen (da 7 Fehlschläge auftreten müssen, bevor der dritte Erfolg erzielt wird). Die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch beträgt 0,4. Wenn wir diese Werte in die PMF einsetzen, erhalten wir:
P(X = 7) = (7 + 3 - 1) Wählen Sie (3 - 1) * 0,4^3 * (1 - 0,4)^7 = 0,026
Mithilfe der geometrischen Verteilung können wir x = 3 setzen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch beträgt 0,4. Wenn wir diese Werte in die PMF einsetzen, erhalten wir:
P(X=3)=0,4*(1-0,4)^2=0,096
Wie wir sehen können, sind die Wahrscheinlichkeiten der beiden Verteilungen unterschiedlich. Dies liegt daran, dass die negative Binomialverteilung die Anzahl der Fehler modelliert, bevor eine feste Anzahl von Erfolgen erzielt wird, während die geometrische Verteilung die Anzahl der Versuche modelliert, die erforderlich sind, um den ersten Erfolg zu erzielen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die negative Binomialverteilung und die geometrische Verteilung zwar einige Ähnlichkeiten, aber auch einige wesentliche Unterschiede aufweisen. Das Verständnis dieser Unterschiede kann bei der Auswahl einer geeigneten Verteilung für ein bestimmtes Problem hilfreich sein.
Anwendung der negativen Binomialverteilung
Der Rechner für die negative Binomialverteilung ist ein nützliches Werkzeug zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Fehlern, bevor in einer Reihe unabhängiger Bernoulli-Versuche eine feste Anzahl von Erfolgen erzielt wird. Diese Verteilung hat eine Vielzahl von Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, darunter:
Pascal-Verteilung
Die negative Binomialverteilung wird auch Pascal-Verteilung genannt, benannt nach dem Mathematiker Blaise Pascal. Diese Verteilung wird verwendet, um die Anzahl der Bernoulli-Versuche zu modellieren, die erforderlich sind, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen.
Münzen werfen und würfeln
Die negative Binomialverteilung kann verwendet werden, um die Anzahl der Münz- oder Würfelwürfe zu modellieren, die erforderlich sind, um eine bestimmte Anzahl von Köpfen oder eine bestimmte Anzahl von Zahlen zu erreichen.
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und kumulative Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der negativen Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, eine bestimmte Anzahl von Fehlschlägen vor einer festen Anzahl von Erfolgen zu erreichen. Die kumulative Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens eine bestimmte Anzahl von Fehlschlägen vor einer festen Anzahl von Erfolgen zu erreichen.
Unabhängiger Bernoulli-Prozess
Die negative Binomialverteilung geht davon aus, dass Bernoulli-Versuche unabhängig sind, was bedeutet, dass das Ergebnis eines Versuchs keinen Einfluss auf das Ergebnis des nächsten Versuchs hat.
Daten zählen
Die negative Binomialverteilung wird häufig zur Modellierung von Zähldaten verwendet, beispielsweise der Anzahl der Vorfälle während eines bestimmten Zeitraums oder der Anzahl der Fehler in einem bestimmten Produkt.
geometrische Verteilung
Die negative Binomialverteilung hängt mit der geometrischen Verteilung zusammen, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche modelliert, die erforderlich sind, um den ersten Erfolg zu erzielen.
Insgesamt ist der Rechner für die negative Binomialverteilung ein wertvolles Werkzeug zur Analyse von Daten und zur Erstellung von Vorhersagen auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe unabhängiger Bernoulli-Versuche eine bestimmte Anzahl von Erfolgen oder Misserfolgen zu erzielen.
Eigenschaften der negativen Binomialverteilung
Die negative Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Anzahl der Fehler beschreibt, die auftreten, bevor in einer Reihe unabhängiger Versuche eine festgelegte Anzahl von Erfolgen erreicht wird. In diesem Abschnitt werden wir einige wichtige Eigenschaften der negativen Binomialverteilung diskutieren.
Mittelwert und Varianz
Der Mittelwert und die Varianz der negativen Binomialverteilung sind gegeben durch:
- Durchschnitt: E(X) = r(1-p)/p
- Varianz: Var(X) = r(1-p)/p^2
Dabei ist r die Anzahl der Erfolge, p die Erfolgswahrscheinlichkeit und X eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Fehlschläge vor dem r-ten Erfolg angibt.
Schiefe und Kurtosis
Die Schiefe und Kurtosis der negativen Binomialverteilung sind gegeben durch:
- Schiefe: (2-p)/sqrt(r(1-p))
- Kurtosis: 6/r (1-p) + 3
Die Schiefe misst den Grad der Asymmetrie einer Verteilung, während die Kurtosis den Grad der Spitze oder Flachheit misst.
Gammafunktion
Die negative Binomialverteilung kann durch die Gammafunktion wie folgt ausgedrückt werden:
- P(X=k) = (k+r-1)C(k) p^r (1-p)^k
Hier ist C(k) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, k Objekte aus insgesamt r+k-1 Objekten auszuwählen.
Kumulierter Betrag
Der Kumulant der negativen Binomialverteilung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
- K_n = (-1)^n B_n (r, p) / n!
Hier ist B_n(r,p) das n-te Bell-Polynom, das durch die zweite Stirling-Zahl ausgedrückt werden kann.
Lösung
Die negative Binomialverteilung kann mit der Methode der erzeugenden Funktion gelöst werden. Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der negativen Binomialverteilung ist gegeben durch:
- G(z) = (1-pz)^(-r)
Hier ist z eine komplexe Variable.
Beispiel
Angenommen, der Basketballspieler hat eine Chance von 70 %, einen Freiwurf auszuführen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er im neunten Versuch seinen fünften Freiwurf macht?
Mit der negativen Binomialverteilung können wir Folgendes berechnen:
- P(X=4) = (4+5-1)C(4) (0,7)^5 (0,3)^4 = 0,2001
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Basketballspieler bei seinem neunten Versuch seinen fünften Freiwurf macht, etwa 0,2001.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die negative Binomialverteilung ein nützliches Werkzeug zur Modellierung der Anzahl von Fehlern ist, die auftreten, bevor in einer Reihe unabhängiger Versuche eine festgelegte Anzahl von Erfolgen erreicht wird. Es verfügt über mehrere wichtige Eigenschaften, darunter Mittelwert, Varianz, Schiefe, Kurtosis, Gammafunktion, Kumulante und Lösungsmethode.
abschließend
Zusammenfassend ist der Rechner für die negative Binomialverteilung ein nützliches Werkzeug zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Fehlschlägen, bevor eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer festen Anzahl von Versuchen eintritt. Die negative Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur Modellierung der Anzahl der Versuche verwendet werden kann, die erforderlich sind, um eine feste Anzahl von Erfolgen zu erzielen.
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen und kumulative Verteilungsfunktionen können verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, in einer bestimmten Anzahl von Versuchen eine bestimmte Anzahl von Erfolgen oder Misserfolgen zu erzielen. Die Varianz und Standardabweichung der negativen Binomialverteilung können ebenfalls mit den bereitgestellten Formeln berechnet werden.
Die negative Binomialverteilung steht in engem Zusammenhang mit der Binomialverteilung und der geometrischen Verteilung. Mithilfe der Binomialverteilung lässt sich die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen modellieren, während mit der geometrischen Verteilung die Anzahl der Versuche modelliert werden kann, die zum Erzielen eines einzelnen Erfolgs erforderlich sind.
Unter bestimmten Bedingungen kann die Normalverteilung auch zur Annäherung an die negative Binomialverteilung verwendet werden. Der erwartete Wert und die erwartete Anzahl von Versuchen können mithilfe der bereitgestellten Formeln berechnet werden, und die Verteilung der Zufallsvariablen x kann mithilfe der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion modelliert werden.
Insgesamt ist der Rechner für die negative Binomialverteilung ein wertvolles Werkzeug für alle, die sich für Wahrscheinlichkeit und Statistik interessieren. Durch das Verständnis der Konzepte und Methoden zur Berechnung der negativen Binomialverteilung können Einzelpersonen ein tieferes Verständnis der Grundprinzipien von Wahrscheinlichkeit und Statistik entwickeln.