Binomialverteilungsrechner

Verwenden Sie diesen binomialen Wahrscheinlichkeitsrechner, um auf einfache Weise die binomiale kumulative Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsmasse basierend auf der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs, der Anzahl der Versuche und dem Ereignis zu berechnen. Wenn das Ergebnis eine binomiale Zufallsvariable ist (z. B. ein Münzwurf), kann die Erfolgswahrscheinlichkeit berechnet werden. Der Rechner kann auch die Anzahl der erforderlichen Versuche berechnen.

Binomialverteilungsdiagramm

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Verteilungsparameter:
Anzahl Tests (n)
Erfolgswahrscheinlichkeit (p)
Erwarteter Wert: 5
Varianz: 2,5
Standardabweichung: 1,5811

Wahrscheinlichkeitsrechner

P(X≥)
Wahrscheinlichkeit: 0,623
Probengröße:Probengröße:

Proben Probe

In der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung durch die Gleichung angegeben

PDF(x) =  ( n x ) p x (1-p) nx ,

Dabei ist n die Anzahl der unabhängigen Bernoulli-Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch.

Eine häufige Situation, in der die Binomialverteilung auftritt, ist eine Reihe von Münzwürfen. Angenommen, Sie werfen eine faire Münze sieben Mal und versuchen, „Kopf“ zu bekommen. In diesem Fall ist n = 7 und p = 0,5. Um die Wahrscheinlichkeit von genau vier Würfen zu berechnen, müssen Sie auswerten


PDF(4) =  ( 7 4 ) (0,5) 4 (0,5) 3

= 35(0,5) 7


= 0,2734375.

Um die Wahrscheinlichkeit von bis zu vier Kopfwürfen zu ermitteln, berechnen Sie die Summe

PDF(0) + PDF(1) + PDF(2) + PDF(3) + PDF(4)

0,0078125 + 0,0546875 + 0,1640625 + 0,2734375 + 0,2734375
= 0,77344. Eine weitere

Anwendung der Binomialverteilung ist das Würfeln. Angenommen, Sie würfeln mit zwei sechsseitigen Würfeln, um eine 8 zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln eine Summe von 8 zu erhalten, beträgt 5/36. Wenn Sie 13 Mal würfeln, beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau zweimal eine 8 zu bekommen

PDF(2) =  ( 13 2  ) (5/36) 2 (31/36) 11


= 0,290456255.

Binomialer Mittelwert und Varianz

Der Mittelwert μ der Binomialverteilung ergibt sich aus der Gleichung

μ = np.

Die Varianz σ 2  ergibt sich aus Gl.


σ 2  = np(1-p).

Wenn Sie die Werte von μ und σ2 kennen , n und p jedoch unbekannt sind, können Sie n und p mithilfe der Gleichungen berechnen


p = 1 - σ 2 /μ und n = μ 2 /(μ - σ 2 ).

Annäherung an die Normalverteilung

Wenn n groß ist, kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit Mittelwert np und Standardabweichung sqrt[np(1-p)] angenähert werden. Die Bedingung dafür, dass n groß genug ist, bedarf einer Erklärung, aber die Näherung ist besser, wenn n mindestens 20 und p nahe bei 0,5 liegt.

Eine Faustregel für die Entscheidung, ob Sie eine Normalverteilung verwenden können, besteht darin, zu prüfen, ob alles innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert innerhalb des Bereichs möglicher Werte liegt. das heißt

np + 3sqrt[np(1-p)] < n, und


np - 3sqrt[np(1-p)] > 0,

dies vereinfacht die Überprüfung, ob n größer als 9p/(1-p) und 9(1-p)/p ist.

Wenn Sie beispielsweise die Binomialverteilung mit p = 0,32 und n = 22 haben, können Sie die Normalverteilung verwenden, um die Wahrscheinlichkeit anzunähern, da

22 > 9(0,32)/0,68 und 22 > 9(0,68)/0,32.