Nullraumrechner
Wählen Sie die Matrixreihenfolge aus und geben Sie alle Entitäten ein. Der Rechner wertet den Nullraum sofort aus, um Beziehungen zwischen verschiedenen algebraischen Eigenschaften zu definieren.
Der Online-Nullraumrechner hilft Ihnen bei der Berechnung des Nullraums und des Nullraums einer bestimmten Matrix. Leere und Nullraum (Kernel) sind die häufigsten Konzepte in der linearen Algebra und werden hauptsächlich zur Identifizierung linearer Beziehungen zwischen verschiedenen Eigenschaften verwendet. Wenn Sie die Größe und die Werte einer Matrix eingeben, reduziert der vom Matrixrechner verwendete Nullraum das Zeilentrapez, um schrittweise Berechnungen zu ermöglichen.
Was ist ein freier Sitzplatz?
Der Nullraum oder Kernel ist ein Unterraum, der aus allen Vektoren besteht, die auf den Nullvektor des Raums abgebildet werden. In der mathematischen Schreibweise für eine Matrix A mit n Spalten sind dies die Vektoren v = (a₁, a₂, ..., an), wobei A ·v = 0
In
0 ist der Nullvektor,
(·) stellt eine Matrixmultiplikation dar, d. h. x = (x, x, ..., x) mit n Koordinaten.
Beachten:
- Der Nullvektor liegt immer im Nullraum. Welche Matrix wir auch haben, wenn wir sie mit Null multiplizieren, erhalten wir Null.
- Der Kern einer Matrix enthält normalerweise unendlich viele Elemente. Wenn tatsächlich (a₁, a₂, ..., an) im Nullraum liegt, dann ist (ax₁, ax₂, ..., axn) für jede reelle Zahl a gleich.
Nun, der Nullraum in einer Matrix ist nur ein Unterraum von Elementen, die die Formel erfüllen. Mit einem Online-Determinantenrechner können Sie jedoch die Determinante der Eingabeelemente einer bestimmten Matrix berechnen.
Was ist Invalidität?
Die Leerheit kann als die Anzahl der Vektoren im leeren Raum einer gegebenen Matrix definiert werden. Die räumliche Nulldimension der Matrix X wird als Nullwert der Matrix X bezeichnet. Die Anzahl der linearen Beziehungen zwischen Attributen ist durch die Größe des Nullraums gegeben. Zur Identifizierung dieser linearen Zusammenhänge kann der Nullraumvektor Y herangezogen werden.
Wie finde ich die Ungültigkeit einer Matrix?
Sie können den Rangungültigkeitssatz verwenden, um die Gültigkeit zu ermitteln. Der Rangungültigkeitssatz hilft dabei, die Ungültigkeit einer Datenmatrix mit dem Rang und der Anzahl der Attribute in den Daten in Beziehung zu setzen. Der Rang-Nulligkeitssatz ist definiert als – Nullität X + Rang X = Gesamtzahl der Attribute von X (d. h. Gesamtzahl der Spalten in X)
Wie finde ich den Nullraum einer Matrix?
Das wichtigste Werkzeug beim Versuch, die Ungültigkeit und den Kern einer Matrix zu bestimmen, ist die Gauß-Jordan-Eliminierung. Dies ist ein nützlicher Algorithmus, der eine gegebene Matrix in ihre reduzierte Zeilenstufenform umwandelt. Die Idee besteht darin, so viele Matrixelemente wie möglich zu „zerstören“. Diese sind:
- Vertausche zwei Zeilen der Matrix;
- Multiplizieren Sie eine Zeichenfolge mit einer Konstante ungleich Null.
Die Schlüsseleigenschaft hierbei ist, dass die ursprüngliche Matrix und ihre reduzierte Zeilenstufe denselben Nullwert und denselben Rang haben. Aufgrund seiner Praktikabilität können Ihnen unsere Grundlagen des Nullraumrechners zeigen, wie die Eingabematrix aussieht, nachdem die Gaußsche Jordan-Eliminierung entfernt wurde.
Beispiel 1:
Der Leerraum der Suchmatrix besteht aus 3 Zeilen und 4 Spalten.
⌈ x₁ x₂ x₃ x₄ ⌉ |.
Der Nullraumrechner der ersten Schrittmatrix verwendet die Gaußsche Jordan-Eliminierung, um die erste Zelle x₁ der ersten Zeile zu nehmen (bis sie Null ist) und die folgenden Elemente über atomare Zeilenoperationen zu entfernen. Wir addieren die entsprechenden Vielfachen der oberen Zeile zu den anderen beiden Zeilen, was zu der folgenden Matrix führt:
⌈ x₁ x₂ x₃ x₄ ⌉ 0 y₂ y₃ y₄ |.
Als nächstes ähnelt der Nullraum des Matrixrechners der mittleren Zeile. Wir nehmen r₂ (bis es Null ist) und löschen damit die Einträge darunter. Als Ergebnis erhalten wir eine Array-Form:
⌈ x₁ x₂ x₃ x₄ ⌉ 0 y₂ y₃ y₄ |.
Nun der Unterschied zwischen der Gaußschen Jordan-Eliminierung und ihrer vereinfachten Form: Der Nullraumbasisrechner dividiert jede Zeile durch den ersten Eintrag in dieser Zeile, der ungleich 0 ist. Das ergibt:
⌈ 1 x₂ x₃ x₄ ⌉ 0 1 y₃ y₄ |.
Hier landen wir häufig bei Algorithmen, beispielsweise wenn wir nach Spaltenplatz in einem Array suchen. Tatsächlich können wir aus der uns vorliegenden Matrix bereits nützliche Informationen ablesen. Der Begriff, der in jeder Zeile als erster Eintrag ungleich Null erscheint, wird als führender Begriff bezeichnet. In diesem Beispiel befinden sie sich in der ersten, zweiten und dritten der vier Spalten. Um jedoch die Basis des Nullraums zu finden, werden wir die Matrix leicht modifizieren. Wir werden wieder grundlegende Zeilenoperationen verwenden, dieses Mal jedoch von unten nach oben. Zunächst löschen wir mit 1 in der dritten Zeile den darüber liegenden Eintrag.
⌈ 1 x₂ 0 x₄ ⌉ |. 0 1 0 y₄ |.
Jetzt machen wir dasselbe mit der 1 in der mittleren Reihe, um die obere Zelle zu zerstören.
⌈ 1 0 0 x₄ ⌉ |. 0 1 0 y₄ |.
Schließlich ist dies die Matrix, die uns die Basis des Nullraums liefert. Um es zu bestimmen, müssen wir einige einfache Regeln befolgen. Wenn es in der Matrix keine Spalten ohne Initialen gibt, ist der Nullraum trivial. Es hat die Dimension 0 und enthält nur Nullvektoren. Ein Basisvektor ek ist ein Element der Basis, also ein Vektor mit 1 in der k-ten Koordinate, wenn die Matrix Spalten mit nur Nullen enthält, andernfalls ist er Null. Allerdings wird ein Online-Wronski-Rechner verwendet, um den Wronski-Wert eines bestimmten Satzes von Funktionen zu bestimmen.
Beispiel 2:
Finden Sie den Nullraum einer Matrix:
[3 7 2 9 7 6 5 3 8 3 2 9 3 2 8 3]
Lösung:
Die gegebene Matrix ist:
[3 7 2 9 7 6 5 3 8 3 2 9 3 2 8 3]
Reduziertes Zeilentrapez einer Matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]
Um den Nullraum zu finden, bitten Sie um die Lösung der Matrixgleichung:
[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1] [x_1x_2x_3x_4] = [0 0 0 0]
Hunderte von Zero-Space-Müttern:
[0 0 0 0]
Der Nullwert der Matrix ist: 0
Wie funktioniert der Nullraumrechner?
Mit dem Online-Nullraumrechner können Sie die Kardinalität des Nullraums einer Matrix ermitteln, indem Sie die folgenden Schritte ausführen:
Eingang:
- Geben Sie die Zeilen- und Spaltengrößen der Matrix ein und ersetzen Sie die angegebenen Werte in allen Feldern.
- Wenn Sie den leeren Raum einer Matrix aus Zufallswerten finden möchten, klicken Sie auf „Matrix generieren“.
- Klicken Sie auf die Schaltfläche „Leerraum berechnen“.
Ausgabe:
- Nullraum-Matrix-Rechner Finden Sie den Nullraum einer Matrix anhand des Nullraums des reduzierten Zeilentrapezes einer Matrix.
FAQ:
Kann die Dimension des Nullraums Null sein?
Der Nullraum enthält immer den Nullvektor, es können jedoch auch andere Vektoren existieren.
Was sind die Grundlagen von Matrizen?
Wenn wir die Basis des Nullraums einer Matrix finden, entfernen wir alle redundanten Spaltenvektoren aus dem Nullraum und halten die Spaltenvektoren linear unabhängig. Daher ist die Basis einfach die Kombination aller linear unabhängigen Vektoren.
abschließend:
Verwenden Sie die Online-Basis des Nullraumrechners, um alle Vektoren zu berechnen, die durch das angegebene Array auf Null abgebildet werden. Normalerweise hat der Nullraum viele Elemente, daher bedeutet die Berechnung aller Vektoren im Grunde die Berechnung der Basis des Nullraums.