Quadratischer Gleichungsrechner

Quadratischer Gleichungslöser/Rechner.

Geben Sie die quadratischen Gleichungskoeffizienten a, b, c ein und klicken Sie auf  die Schaltfläche Berechnen  :

  Geben Sie Folgendes ein    Geben Sie b ein     Geben Sie c ein   
  x 2 + x + = 0
 
Diskriminante: Δ =
Quadratische Formel: x 1,2 =
Erste Wurzel: x 1   =
Zweite Wurzel: x 2 =


Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung isteine Polynomgleichung 2. Grades mit Variablen vom Typf(x) = ax 2 + bx + c ,wobei a, b, c, ∈ R und a ≠ 0. Es ist die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung, wobei „a“ der führende Koeffizient und „c“ der absolute Term von f(x) ist.Die Werte von x, die die quadratische Gleichung erfüllen, sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung (α,β).

Quadratische Gleichungen haben immer zwei Wurzeln.Die Eigenschaften von Wurzeln können reelle Zahlen oder imaginäre Zahlen sein.

Inhaltsverzeichnis

  • wichtige Formel
  • Wurzeln einer quadratischen Gleichung
  • Natur der Wurzeln
  • gemeinsame Wurzeln
  • Quadratische Gleichungen lösen

Ein quadratisches Polynom wird zu einer quadratischen Gleichung, wenn es gleich Null ist.Die Werte von x, die die Gleichung erfüllen, werden Wurzeln der quadratischen Gleichung genannt.

Im Allgemeinen aus: ax 2 + bx + c = 0

Beispiel: 3x 2 + x + 5 = 0, -x 2 + 7x + 5 = 0, x 2 + x = 0.

quadratische Gleichungsformel

Die Lösungen oder Wurzeln einer quadratischen Gleichung werden durch die quadratische Formel angegeben:

(α, β) = [-b ± √(b 2 – 4ac)]/2ac

Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen

1.Wurzeln der quadratischen Gleichung: x = (-b ± √D)/2a, wobei D = b 2 – 4ac

2.Beschaffenheit der Wurzeln:

  • D > 0, die Wurzeln sind reell und eindeutig (nicht gleich)
  • D = 0, die Wurzeln sind reell und gleich (koinzident)
  • D < 0, die Wurzeln sind imaginär und ungleich

3.Die Wurzeln (α + iβ), (α – iβ) sind konjugierte Paare voneinander.

4.Summe und Produkt der Wurzeln: Wenn α und β die Wurzeln einer quadratischen Gleichung sind, dann

  • S = α+β= -b/a = Koeffizient von x/ Koeffizientvon x 2
  • P = αβ = c/a = konstanter Term/Koeffizientvon x 2

5.Quadratische Gleichung in Wurzelform: x 2 – (α+β)x + (αβ) = 0

6.Quadratische Gleichungen a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = 0 und a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = 0 existieren;

  • Eine gemeinsame Wurzel, wenn (b 1 c 2 – b 2 c 1 )/(c 1 a 2 – c 2 a 1 ) = (c 1 a 2 – c 2 a 1 )/(a 1 b 2 – a 2 b 1 )
  • Wenn a 1 /a 2 = b 1 /b 2  = c 1 /c 2,sind die beiden Wurzeln gemeinsam

7.In der quadratischen Gleichung ax 2  + bx + c = 0 oder [(x + b/2a) 2 – D/4a 2 ]

  • Wenn a > 0, Minimum = 4ac – b 2 /4a bei x = -b/2a.
  • Wenn a < 0, beträgt der Maximalwert 4ac – b 2 /4a bei x= -b/2a.

8.Wenn α, β und γ die Wurzeln der kubischen Gleichung ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 sind, dann gilt α + β + γ = -b/a, αβ + βγ + λα = c/a, αβγ = - d/a

9.Wenn die Gleichung mehr als zwei Zahlen erfüllt, also Wurzeln oder Lösungen mit mehr als zwei reellen oder komplexen Zahlen hat, wird die quadratische Gleichung zur Identität (a, b, c = 0).

Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Die Werte von Variablen, die eine gegebene quadratische Gleichung erfüllen, werden ihre Wurzeln genannt.Mit anderen Worten: Wenn f(α) = 0, ist x = α eine Wurzel der quadratischen Gleichung f(x).

Die eigentliche Wurzel der Gleichung f(x) = 0 ist die x-Koordinate des Punktes, an dem die Kurve y = f(x) die x-Achse schneidet.

  • Wenn c = 0, ist eine der Wurzeln der quadratischen Gleichung Null und die andere ist -b/a
  • Wenn b = c = 0, sind beide Wurzeln Null
  • Wenn a = c, sind die Wurzeln Kehrwerte zueinander

Was ist eine Diskriminante?

Der Term (b 2 – 4ac)in der quadratischen Gleichung wirdals Diskriminante der quadratischen Gleichung bezeichnet.Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung verrätdie NaturderWurzeln.

Eigenschaften von Wurzeln quadratischer Gleichungen

Wenn der Wert der Diskriminante = 0 ist, dann ist b 2  – 4ac = 0 Die quadratische Gleichung hat gleiche Wurzeln, d. h. α = β = -b/2a
Wenn der Wert der Diskriminante < 0 ist, also b 2  – 4ac < 0 Die quadratische Gleichung hat imaginäre Wurzeln, nämlich α = (p + iq) und β = (p – iq).Dabei ist „iq“ der Imaginärteil der komplexen Zahl
Wenn die Diskriminante (D) > 0 ist, also b 2  – 4ac > 0 Die quadratische Gleichung wird reelle Wurzeln haben
Wenn der Wert der Diskriminante > 0 ist und D ein perfektes Quadrat ist Quadratische Gleichungen haben rationale Wurzeln
Wenn die Diskriminante (D) > 0 ist und D kein perfektes Quadrat ist Die quadratische Gleichung wird irrationale Wurzeln haben, nämlich α = (p + √q) und β=(p – √q)
Wenn der Wert der Diskriminante > 0 ist, dann ist D ein perfektes Quadrat, a = 1 und b und c sind ganze Zahlen Eine quadratische Gleichung hat ganzzahlige Wurzeln

Wie bestimmt man die Eigenschaften der Wurzeln einer quadratischen Gleichung?

Beispiel 1: Ermitteln Sie den Wert von k für den quadratischen Ausdruck (x – a) (x – 10) + 1 = 0, der ganzzahlige Wurzeln hat.

Lösung:

Die gegebene Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: x 2  – (10 + k)x + 1 + 10k = 0.

D = b 2  – 4ac = 100 + k 2 + 20k – 40k = k 2  – 20k + 96 = (k – 10) 2  – 4

Eine quadratische Gleichung hat ganzzahlige Wurzeln, wenn der Wert der Diskriminante > 0 ist, dann ist D ein perfektes Quadrat, a = 1 und b und c sind ganze Zahlen.

Das ist (k – 10) 2  – D = 4

Weil die Diskriminante ein perfektes Quadrat ist. Daherbeträgt die Differenz zwischen zwei perfekten Quadraten im RHSnur dann 4, wenn D = 0 und (k – 10) 2 = 4.

⇒ k – 10 = ± 2. Daher ist k = 8 und 12.

Beispiel 2: Finden Sie den Wert von k, sodass die Gleichung p/(x + r) + q/(x – r) = k/2x zwei gleiche Wurzeln hat.

Lösung:

Die gegebene quadratische Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden:

[2p + 2q – k]x 2 – 2r[p – q]x + r 2 k = 0

Für gleiche Wurzeln ist die Diskriminante (D) = 0, also b 2  – 4ac = 0

Hier gilt: a = [ 2p + 2q – k ], b = – 2r [ p – q ] und c = r 2 k

[-2r (p – q)] 2 – 4[(2p + 2q – k) (r 2 k)] = 0

r 2 (p – q) 2  – r 2 k(2p + 2q – k) = 0

Da r ≠ 0, ist also (p – q) 2  – k(2p + 2q – k) = 0

k 2  – 2(p + q)k + (p – q) 2

k = 2(p+q) ± √[4(p + q) 2  – 4(p – q)] 2 /2 = -(p + q) ± √4pq

∴ k = (p + q) ± 2√pq = (√p ± √q) 2

Beispiel 3: Finden Sie eine quadratische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, wenn die Wurzel 1/(2 + √5) ist.

Lösung:

Wenn die Koeffizienten rational sind, treten inkonjugierten Paaren irrationale Wurzeln auf.Wenn also eine Wurzel α = 1/(2 + √5) = √5 – 2 ist, dann ist die andere Wurzel β = 1/(2 – √5) = -√5 – 2.

Das Produkt aus der Wurzel α + β = -4 und der Wurzel α β = -1.

Daher lautet die erforderliche Gleichung x 2 + 4x – 1 = 0.

Beispiel 4: Eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten wird gebildet, wenn eine ihrer Wurzeln (3 – 2i) ist.

Lösung:

Da komplexe Wurzeln immer paarweise auftreten, ist die andere Wurzel 3 + 2i.Indem wir also die Summe und das Produkt der Wurzeln bilden, können wir die gewünschte quadratische Gleichung bilden.