Vektor-Kreuzproduktrechner
Vektor X
Vektor Y
Wie verwende ich den Kreuzproduktrechner?
Der Vektor-Kreuzproduktrechner ist sehr einfach zu verwenden. Befolgen Sie diese Schritte, um das Kreuzprodukt zu ermitteln:- Schritt 1: Geben Sie die angegebenen X- und Y-Koeffizienten des Vektors in die Eingabefelder ein.
- Schritt 2: Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnung abrufen“, um den Wert des Kreuzprodukts zu erhalten.
- Schritt 3: Schließlich erhalten Sie den Kreuzproduktwert zwischen den beiden Vektoren zusammen mit der detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösung.
Was ist ein Kreuzprodukt?
Das Produkt zwischen zwei Vektoren a und b wird „Kreuzprodukt“ genannt. Es kann nur im dreidimensionalen Raum ausgedrückt werden, nicht im zweidimensionalen Raum. Es wird durch „a ⨯ b“ (für Kreuz b) dargestellt.
Das Ergebnis der beiden Vektoren heißt „c“ und steht senkrecht auf den beiden Vektoren a und b, wobei θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Seine Richtung ist durch die Rechte-Hand-Regel und seine Größe durch die Fläche des Parallelogramms gegeben.
Kreuzproduktformel
axb = |a|. |b|. sin (θ) n
- |a|. und |b| sind die Längen der beiden Vektoren.
- θ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren A und B (im Bereich von 0° bis 180°).
- n ist der Einheitsvektor senkrecht zu den Vektoren A und B.
Wenn die Vektoren a und b parallel sind, ist ihr Kreuzprodukt Null.
Die Richtung des Vektors c kann einfach anhand der Daumenregel der rechten Hand ermittelt werden, wobei -
der Zeigefinger in die Richtung von a zeigen sollte. Der Mittelfinger sollte in Richtung b zeigen. Die Kreuzproduktformel ist etwas komplizierter als die übliche Formel.
Die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren im 3D-Raum kann übermäßig komplex werden, und wenn wir nur wissen wollen, wie man das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren berechnet, ist es die Mühe wahrscheinlich nicht wert. Lassen Sie uns stattdessen eine direktere und praktischere Möglichkeit erkunden, Vektorkreuzprodukte mithilfe verschiedener Kreuzproduktformeln zu berechnen.
Diese neue Formel nutzt die Zerlegung eines 3D-Vektors in seine drei Bestandteile. Diese Technik ist eine sehr verbreitete Methode zur Beschreibung und Manipulation von Vektoren, bei der jede Komponente eine Richtung im Raum darstellt und die dazugehörige Zahl die Länge des Vektors in dieser bestimmten Richtung darstellt. Typischerweise werden die drei Dimensionen des 3D-Raums, mit dem wir es zu tun haben, mit x, y und z bezeichnet und durch die Einheitsvektoren i, j bzw. k dargestellt.
Dieser Nomenklatur folgend können wir jeden Vektor als Summe dieser drei Einheitsvektoren darstellen. Der Kürze halber werden die Vektoren normalerweise weggelassen, sie sind jedoch immer noch implizit und haben einen großen Einfluss auf das Ergebnis des Kreuzprodukts. Daher kann der Vektor v ausgedrückt werden als: v = (3i + 4j + 1k) oder einfach: v = (3, 4, 1), wobei die Position der Zahlen wichtig ist. Mit dieser Notation können wir nun sehen, wie das Kreuzprodukt zweier Vektoren berechnet wird.
Wir nennen die beiden Vektoren: v = (v₁, v₂, v₃) und w = (w₁, w₂, w₃). Für diese beiden Vektoren sieht die Formel so aus:
v × w = (v₂w₃ - v₃w₂, v₃w₁ - v₁w₃, v₁w₂ - v₂w₁)
Das Ergebnis mag wie eine zufällige Ansammlung von Operationen zwischen den Komponenten jedes Vektors aussehen, aber weiter ist es eigentlich nicht. Für diejenigen unter Ihnen, die sich fragen, woher das alles kommt, empfehlen wir Ihnen, es selbst herauszufinden. Alles, was Sie tun müssen, ist, mit zwei Vektoren zu beginnen, dargestellt als: v = v₁i + v₂j + v₃k und w = w₁i + w₂j + w₃k, und dann jede Komponente des Vektors mit allen Komponenten der anderen Komponente zu multiplizieren.
Als kleinen Tipp können wir Ihnen sagen, dass bei der Berechnung des Kreuzprodukts von Vektoren mal Zahlen das Ergebnis das „reguläre“ Produkt von Zahlen mal dem Kreuzprodukt zwischen Vektoren ist. Es ist auch nützlich, sich daran zu erinnern, dass das Kreuzprodukt paralleler Vektoren (und der Schnittpunkt eines Vektors mit sich selbst) immer gleich ist.