Mittelwerttheorem-Rechner

Mit dem Online-Mittelwertrechner können Sie mithilfe des Mittelwertsatzes die Änderungsrate einer Funktion ermitteln. Darüber hinaus zeigt dieser Rolle-Theorem-Rechner die Ableitung des Intervalls für eine gegebene Funktion. In diesem Zusammenhang können Sie den Mittelwertsatz und seinen Sonderfall namens Rolles Satz verstehen.

Was ist der Mittelwertsatz?

In der Mathematik wird der Mittelwertsatz verwendet, um das Verhalten von Funktionen zu bewerten. Der Mittelwertsatz besagt, dass, wenn f eine stetige Funktion im geschlossenen Intervall [a, b] ist und im offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist, es mindestens einen Punkt c im offenen Intervall (a, b) gibt. Dann lautet die Formel des Mittelwertsatzes:

$$f' (c) = [f (b) – f (a)] / b – a$$

Mittelwertsatz der Integrale

Der Mittelwertsatz der Integrale besagt, dass die Steigung einer geraden Linie, die an zwei verschiedenen Punkten einer Kurve (glatt) ineinander übergeht, genau die gleiche ist wie die Steigung einer Tangente an einen bestimmten Punkt der Kurve zwischen zwei separaten Punkten. Sei f eine Funktion auf [a, b]. Dann ist der Durchschnitt f(c) von c

$$1/ b – a∫_a^bf(x) d(x) = f(c)$$

(Bilder dienen nur als Referenz)

Online-Integralrechner können Ihnen dabei helfen, das Integral einer Funktion in Bezug auf die beteiligten Variablen auszuwerten.

Beispiel:

Finden Sie den Wert von f (x) = 11x^2 - 6x - 3 im Intervall [4,8].

Lösung:

In der gegebenen Gleichung ist (f) stetig auf [4,8].

$$F (C) = 1/b – a ∫ f (x) dx = 1/ 8 – 4∫_4^8 (11x^2 – 6x – 3) dx$$

$$= 1/4 [x^3 – x^2]^8_4$$

$$= 1/4 [(216 – 36) – (8 – 4)]$$

$$= 1/4 [(180 – 4)]$$

$$= 176/4 = 44$$

Hier beträgt der Wert von c 44, was den Mittelwert der gegebenen Funktion angibt.

Geben Sie nun x=16 in die Funktion ein.

$$f(x)=11x^2-6x-3=44$$

$$=11x^2 - 6x - 47$$

$$= (x + 2,32) (x - 2,80) = 0$$

Daher ist 2,80 der Wert von c. Der Online-Mittelwertrechner liefert die gleichen Ergebnisse, wenn Sie ähnliche Werte und Intervalle eingeben.

Cauchys Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz von Cauchy ist eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes. Darin heißt es: Wenn die Funktionen g und f beide im Endintervall [a, b] stetig und im Startintervall (a, b) differenzierbar sind, dann existiert ce(a, b), so dass

$$(f (b) – f (a)) g’c = (g (b) – g (a)) f’c$$

Hier ist g(a) ≠ g(b) und g'(c) ≠0, also ist dies äquivalent zu:

$$f'(c)/g'(c) = f(b) – f(a)/g(b) – g(a)$$

Der Online-Ableitungsrechner hilft dabei, die Ableitung einer Funktion nach einer bestimmten Variablen zu ermitteln.

Beispiel:

Finden Sie einen Wert „C“, die Schlussfolgerung des Mittelwertsatzes: f(x) = -4x^3 + 6x - 2 im Intervall [-4, 2].

Antwort:

f(x) ist eine Polynomfunktion, die für alle reellen Zahlen differenzierbar ist. Berechnen Sie f(x) unter der Annahme, dass x = -4 und x = 2

$$f(-4) = -4(-4)^3 + 6(-4) - 2 = 20$$

$$f(2) = -4(2)^3 + 6(2) - 2 = - 4$$

Ersetzen Sie nun die Werte in [f(b) – f(a)] / (b – a)

$$[f(b) - f(a)] / (b - a) = [-6 - 4] / (2 - (-4)) = -2$$

Finden wir nun f'(x)

$$f '(x) = - 6x^2 + 6$$

Wir erstellen nun eine Gleichung basierend auf f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)

$$-6c + 6 = -2$$

Sie können den Wert von c mithilfe des Mittelwertsatzrechners ermitteln:

$$c = 2 \sqrt{(1/3)} und c = - 2 \sqrt{(1/3)}$$

Satz von Rolle:

Der Satz von Rolle besagt, dass es einen Punkt c geben muss, an dem f '(c) = 0 ist, wenn die Ergebnisse einer differenzierbaren Funktion (f) am Ende des Intervalls gleich sind.

 

Beispiel:

Finden Sie alle Werte des Mittelpunkts c im Intervall [−4,0], sodass f′(c)=0 ist, wobei f(x)=x^2+2x.

Antwort:

Überprüfen Sie zunächst die Funktion f(x), die den Satz von Rolle für alle Zustände erfüllt.

1. f(x) ist eine stetige Funktion in [−4,0] als quadratische Funktion;
2. Es ist innerhalb des Startintervalls (-4,0) differenzierbar;

$$f(−2)=(−4)2+2⋅(−4)=0$$ $$f(0)=02+2⋅0=0$$

$$f(−4)=f(0)$$

Wir können also den Satzrechner von Rolle verwenden, um Punkt c zu finden

$$f′(x)=(x2+2x)′=2x+2$$

Lösen Sie nun die Gleichung f′(c)=0:

$$f′(c)=2c+2=0$$

$$c=−1$$

daher

$$f′(c)=0 bedeutet c=−1$$

Wie funktioniert der Mittelwertrechner?

Mit diesem kostenlosen Rolle-Theorem-Rechner können Sie die Änderungsrate einer Funktion mit dem Theorem berechnen, indem Sie die folgenden Schritte ausführen:

eingeben:

• Geben Sie zunächst eine Funktion für verschiedene Variablen ein (z. B. x, y, z).
• Geben Sie nun das Start- und Endintervall für die kontinuierliche Funktion ein
• Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, um die Ergebnisse anzuzeigen

Ausgabe:

• Der Mittelwertrechner liefert die Antwort
• Zeigen Sie die Ableitung der Eingabefunktion

FAQ:

Wer hat den Mittelwertsatz bewiesen?

Im Jahr 1691 bewies M Rolle eine eingeschränkte Form des Mittelwertsatzes; das Ergebnis ist das, was heute als Satz von Rolle bekannt ist, und wurde als Polynom ohne die Methode der Analysis bewiesen. Die neueste Form des Mittelwertsatzes wurde 1823 von Augustin Cauchy bewiesen.

Was bedeutet der erste Mittelwertsatz?

f(b)−f(a) = f′(c)(b−a). Dieser Satz, auch erster Mittelwertsatz genannt, ermöglicht es, das Inkrement einer gegebenen Funktion (f) über ein bestimmtes Intervall um den Wert der Ableitung an einem Zwischenpunkt anzuzeigen.

Verwenden Sie diesen praktischen Rechner für den Mittelwertsatz, mit dem Sie die Änderungsrate einer Funktion ermitteln können. Wenn f in einem geschlossenen Intervall stetig und in einem offenen Intervall differenzierbar ist, gibt es einen Punkt c im Intervall. Die Formel für den Mittelwertsatz ist schwer zu merken, aber Sie können unseren kostenlosen Online-Rechner für den Satz von Rawls verwenden, der Ihnen in Sekundenbruchteilen 100 % genaue Ergebnisse liefert.