Permutations- und Kombinationsrechner

Die kombinatorische Definition besagt, dass es sich um die Anzahl der Möglichkeiten handelt, wie man r Elemente aus einer Menge auswählen kann, die n verschiedene Objekte enthält (weshalb solche Probleme oft als „n Choose r“-Probleme bezeichnet werden). Im Gegensatz zu Permutationen ist die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden, nicht erforderlich (eine ausführliche Erläuterung zu diesem Thema finden Sie im Abschnitt Permutationen und Kombinationen ).

Das Finden jeder Kombination einer Menge von Objekten ist ein rein mathematisches Problem. Möglicherweise haben Sie beispielsweise gelernt, wie man den größten gemeinsamen Faktor (GCF) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) ermittelt.

Stellen Sie sich eine Tüte voller zwölf Kugeln vor, jede Kugel hat eine andere Farbe. Sie wählen zufällig fünf Bälle aus. Wie viele verschiedene Ballsätze kann man bekommen? Oder anders ausgedrückt: Wie viele verschiedene Kombinationen können Sie erhalten?

Mathematiker haben für viele verschiedene Probleme exakte Lösungen gefunden. Gibt es eine ähnliche Methode, um die Anzahl der Kombinationen im obigen Beispiel mit einem Ball abzuschätzen?

Glücklicherweise müssen Sie nicht jeden möglichen Satz aufschreiben! Wie berechnet man also die Kombination? Mit der folgenden Kombinationsformel können Sie die Anzahl der Kombinationen sofort ermitteln:

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!),

Zustand:

• C(n,r)ist die Anzahl der Kombinationen;
• nist die Gesamtzahl der Elemente in der Menge und
• rist die Anzahl der aus dieser Menge ausgewählten Elemente.

 Wenden wir diese Gleichung auf unser Problem mit farbigen Bällen an. Wir müssen ermitteln, wie viele verschiedene Kombinationen es gibt:

C(12,5) = 12!/(5! * (12-5)!) = 12!/(5! * 7!) = 792.

Sie können unseren nCr-Rechner verwenden, um die Ergebnisse anzuzeigen. Es werden auch alle möglichen Kombinationen aufgelistet ! Bitte beachten Sie jedoch, dass 792 verschiedene Kombinationen bereits viel zu bieten haben. Um zu vermeiden, dass zu viele Kombinationen generiert werden, beschränken wir diesen Kombinationsgenerator auf eine bestimmte maximale Anzahl von Kombinationen (standardmäßig 2000). Sie können es jederzeit im erweiterten Modus ändern .

Möglicherweise stellen Sie fest, dass gemäß der Kombinationsformel die Anzahl der Kombinationen zur Auswahl nur eines Elements nur beträgt. Wenn Sie hingegen alle Elemente auswählen müssen, gibt es nur eine Möglichkeit, dies zu tun. Lassen Sie uns diese kombinierte Eigenschaft anhand unseres Beispiels untersuchen. Die Gesamtzahl der Objekte, die Sie erhalten, ist gleich. Jeder im nCr-Rechner angezeigte Buchstabe stellt eine andere Farbe eines Balls dar, zum Beispiel ist A rot, B ist gelb, C ist grün und so weiter. Wenn Sie jeweils nur ein Element aus dem Set auswählen, erhöht sich die Anzahl der Kombinationen – denn es gibt 12 verschiedene Bälle. Wenn Sie jedoch Elemente auswählen, gibt es nur mögliche Kombinationen, die jede Kugel enthalten. Probieren Sie es selbst mit dem n-Choose-R-Rechner aus!nn = 12r = 112r = 121

An diesem Punkt wissen Sie wahrscheinlich alles, was Sie über Kombinationen und Kombinationsformeln wissen müssen. Wenn Sie noch nicht genug haben, gehen wir in den nächsten Abschnitten ausführlich auf die Unterschiede zwischen Permutationen und Kombinationen (oft fälschlicherweise als dasselbe angesehen ), kombinatorischen Wahrscheinlichkeiten und linearen Kombinationen ein.

Stellen Sie sich vor, Sie hätten eine Tüte voller farbiger Kugeln, wie im Beispiel im vorherigen Abschnitt . Auch hier wählt man fünf Bälle nach dem Zufallsprinzip aus, aber dieses Mal kommt es auf die Reihenfolge an  – es kommt darauf an, ob man den roten Ball als ersten oder dritten Ball auswählt. Nehmen wir ein direkteres Beispiel: Sie wählen drei Bälle mit den Namen R (rot), B (blau) und G (grün). Dieses Set hat sechs Permutationen (die Reihenfolge der Buchstaben bestimmt die Reihenfolge der ausgewählten Kugeln): RBG, RGB, BRG, BGR, GRB, GBR, und die Kombinationsdefinition besagt, dass es nur eine Kombination gibt! Das ist der entscheidende Unterschied.

Permutation ist per Definition der Vorgang , bei dem alle Mitglieder einer Menge in . In der Literatur verallgemeinern wir dieses Konzept jedoch häufig und verzichten auf die Anforderung, alle Elemente in einer bestimmten Menge zu verwenden. Deshalb sind Permutationen und Kombinationen so ähnlich. Die Bedeutung dieser Anordnung bestimmt  die Anzahl der Möglichkeiten, r Elemente aus einer Sammlung mit n  verschiedenen Objekten  auszuwählen und anzuordnen  . Dies wird  als r-Permutation von n (manchmal auch als Variante bezeichnet) bezeichnet. Die Anordnungsformel lautet wie folgt:

P(n,r) = n!/(n-r)!.

这个等式在组合公式中看起来不是很熟悉吗？事实上，如果你知道组合的数量，你可以很容易地计算出排列的数量：

P(n,r) = C(n,r) * r!.

如果您打开此组合计算器的高级模式，您将能够找到排列的数量。

您可能想知道何时应该使用排列而不是组合。好吧，这取决于您是否需要考虑订单。例如，假设您有一副九张牌，数字从1到9。您抽取三张随机卡片并将它们排列在桌子上，创建一个三位数的数字，例如425或837。您可以创建多少个不同的数字？

P(9,3) = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 504

使用我们的nCr计算器检查结果！有多少种不同的组合？

C(9,3) = 9!/(3! * (9-3)!) = 9!/(3! * 6!) = 84

组合的数量总是小于排列的数量。这一次，它要小六倍（如果将 84 乘以 ，则得到 504）。它源于这样一个事实，即您选择的每三张牌都可以以六种不同的方式重新排列，就像前面的例子中三个彩色球一样。3! = 6

组合和排列在许多学习领域都是必不可少的。你可以在物理，统计学，金融学，当然还有数学中找到它们。我们还有其他方便的工具可用于这些领域 

为了完成我们对排列和组合的考虑，我们必须引入类似的选择，但这次允许重复。这意味着每次从 n 个不同的对象集中选取一个元素后，都会将其放回该集合。在彩色球的示例中，您从袋子中取出一个球，记住您绘制的那个球，然后将其放回袋子中。类似地，在第二个卡片示例中，您选择一张卡片，记下该卡片上的数字，然后将其放回卡片组。通过这种方式，您可以拥有，例如，组合中的两个红色球或228作为排列。

您可能猜到这两个公式都会变得非常复杂。尽管如此，它并不像计算自制啤酒的酒精含量那么复杂（顺便说一句，您可以使用我们的ABV计算器）。事实上，在排列的情况下，等式变得更加简单。与重复组合的公式如下：

C'(n,r) = (r+n-1)!/(r! * (n-1)!),

对于重复的排列：

P'(n,r) = nr.

在下图中，我们总结了四种类型的对象选择之间的差异：组合，与重复的组合，排列和与重复的排列。这是一个例子，你有四个不同颜色的球，你选择其中三个。在重复选择的情况下，您可以多次选择其中一个球。如果你想尝试排列，要小心，会有成千上万的不同集合！但是，您仍然可以安全地计算其中有多少个（排列处于高级模式）。

让我们从组合概率开始，这是许多统计问题中必不可少的。上图所示的示例应该很容易解释 - 您从袋子中挑选四个彩色球中的三个。假设您想知道其中出现红球的可能性（概率）。有四种不同的组合，红球在其中三个中。组合概率为：

Pr = 3/4 = 75%.

如果你从袋子里随机抽取三个球，在75%的情况下，你会选择一个红色的球。为了表示概率，我们通常使用百分号。 

现在，让我们假设你选择一个球，写下你得到的颜色，然后把它放回袋子里。你得到至少一个红球的组合概率是多少？这是一个“与重复相结合”的问题。从上图中，您可以看到总共有二十种组合，红球在其中十种，因此：

Pr = 10/20 = 50%.

这对你来说是一个惊喜吗？好吧，它不应该是。当您返回第一个球（例如，蓝球）时，您也可以将其绘制为第二个和第三个球。因此，获得红球的机会降低。您可以使用排列进行类比考虑。试着用一袋五颜六色的球来解决一个问题：你第一个捡到的球是红色的概率是多少？

假设您不信任我们，并且想自己进行测试。你从四个球中抽出三个球，然后检查是否有一个红球（如本节的第一个例子）。你又重复了三次这个过程，你只在四种情况下的一种情况下得到红球 - 案件。根据理论，你期望。发生了什么事？好吧，这就是概率的工作原理！有一个大数定律描述了多次执行相同实验的结果。如果您重复绘制，例如，一百次，您将更接近。25%75%75%

更重要的是，大数定律几乎总是导致标准的正态分布，例如，可以用所谓的p值来描述智力或人的身高。在 p 值计算器中，我们解释了如何使用 z 得分表查找 p 值。这听起来可能很复杂，但并不难！

你听说过线性组合吗？事实上，尽管它有“组合”这个词，但它与我们迄今为止所学到的并没有太多的共同点。尽管如此，我们将尝试简要解释一下。线性组合是获取一组项并将每个项乘以一个常量并将结果相加的结果。由于德布罗意方程，它经常在波动物理学中用于预测衍射光栅方程，甚至在量子物理学中也是如此。在这里，您可以看到线性组合的一些常见示例：

1. 向量。3D 中的每个向量都可以分解为三个单位向量，和 。例如，这是线性组合。e₁ = (1,0,0)e₂ = (0,1,0)e₃ = (0,0,1)v = (2,5,3) = 2e₁ + 5e₂ + 3e₃
2. 功能。假设您有两个函数和 .从这两个函数中，您可以创建描述双曲正弦或余弦的线性组合。你可以用正弦和余弦做类似的事情，但是你需要使用虚数。我们在平方根计算器的最后一节中详细介绍它。f(x) = eˣg(x) = e⁻ˣsinh(x) = f(x)/2 - g(x)/2cosh(x) = f(x)/2 + g(x)/2i
3. 多项式。例如，您有三个多项式 ，并且您希望将函数表示为这些多项式的线性组合。并不总是可以这样做，但在这种情况下。p₁(x) = 1p₂(x) = 3x + 3p₃(x) = x² - x + 1q(x) = 2x² + x + 3q(x) = -2p₁(x) + p₂(x) + 2p₃(x)

数学中组合和排列之间的根本区别在于我们是否关心项目的顺序：

• 在排列中，顺序很重要，因此我们按顺序排列项目。
• 在组合中，顺序无关紧要，因此我们从较大的集合中选择一组项目。

Wenn Sie bereits über eine Kombination verfügen und diese in eine Permutation umwandeln möchten, müssen Sie dem Itemset eine Reihenfolge auferlegen , d. h. eine der möglichen Reihenfolgen für Ihr Set auswählen. Daher ist die Anzahl der Permutationen von Elementen, die aus einem Projekt ausgewählt wurden, gleich der Anzahl der Kombinationen von Elementen, die aus einem Projekt ausgewählt wurden, multipliziert mit der Anzahl der Permutationen dieser Elemente, d. h. bestanden.rnrnrr!

Wenn Sie bereits über eine Permutation verfügen und diese in eine Kombination umwandeln möchten, müssen Sie die Reihenfolge entfernen , d. h. alle möglichen Neuordnungen als dasselbe Objekt behandeln. Daher ist die Anzahl der Kombinationen von Elementen, die aus einem Projekt ausgewählt wurden, gleich der Anzahl der Permutationen von Elementen, die aus einem Projekt ausgewählt wurden, geteilt durch die Anzahl der Permutationen dieser Elemente, d. h. durch.rnrnrr!

Wenn ein Wort sieben verschiedene Buchstaben hat, haben Sie eine Möglichkeit, diese anzuordnen (eine einfache Anordnung von sieben Elementen). Wenn jedoch einige Buchstaben mehrfach vorkommen, verringert sich die Anzahl der Permutationen! Zum Beispiel:7! = 5040

• Wenn das Wort „Zeuge“ lautet, erscheint „S“ zweimal, also dividieren wir und das Ergebnis ist .7!2! = 22520
• Wenn das Wort „jemand“ ist, erscheinen „O“ und „E“ zweimal, also dividieren wir und das Ergebnis ist .7!2! * 2! = 41260
• Wenn das Wort „unbekannt“ ist, haben wir dreimal „N“, also dividieren wir und das Ergebnis ist .7!3! = 6840