Regulärer Sechseck-Rechner
Berechnet ein regelmäßiges Sechseck (ein Polygon mit 6 Eckpunkten). Ein Sechseck ist das höchste regelmäßige Vieleck, das eine regelmäßige Tessellation (Kachelung) ermöglicht.
Sechseckformel
Alle Formeln zum Lösen regelmäßiger Sechsecke verwenden die gezeigte Notation:
Alle Formeln gehen davon aus, dass die Seiten des Sechsecks bekannt sind. Daher besteht der erste Schritt bei der Anwendung der Formel basierend auf dem Startpunkt darin, die Seitenlängen aus den als Eingabe angegebenen Seitenlängen zu berechnen. Um beispielsweise die Seite eines Umfangs zu ermitteln, teilen Sie einfach den Umfang durch sechs.
Es gibt keine Formel zum Ermitteln der Winkel eines Sechsecks, da in allen regelmäßigen Sechsecken die Winkel gleich 120° sind. Wenn Sie lange Diagonalen zeichnen, halbieren sie diese und bilden sechs gleichseitige Dreiecke (gleichseitige Dreiecke), wobei alle drei Winkel 60° betragen.
Fläche der Sechseckformel
Um die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks zu ermitteln, verwenden Sie die folgende Gleichung:
a = 3/2 · √3 · a 2
Dabei ist a die Länge der Sechseckseite. Wenn die Fläche bekannt, aber die Seiten unbekannt sind, können Sie die Formel umkehren, um die Seiten zu ermitteln: a = √(A / (3/2 · √3)) .
Die zweite, allgemeinere Formel für die Fläche jedes regelmäßigen Polygons lautet:
A = P · r / 2
Dabei ist P der Umfang des Polygons und r sein Scheitelpunkt (Radius des Innenkreises).
Formel für den Umfang des Sechsecks
Um den Umfang eines Sechsecks zu ermitteln, multiplizieren Sie einfach seine Seiten mit sechs:
P = a·6Um eine Seite des Umfangs zu ermitteln, teilen Sie den Umfang durch 6.
Sechseck-Diagonalformel
Die lange Diagonale (d) ist genau doppelt so lang wie die Seite: d = a · 2, also ist die Seite halb so groß wie die Diagonale, was zu der Gleichung a = d/2 führt.
Die kurze(n) Diagonale(n) lässt sich nach folgender Formel berechnen: s = a · √3 und umgekehrt a = s / √3.
Gleichung des Sechseckradius
Der Radius (R) eines Kreises ist einfach gleich der Seite. Wenn also die Länge der Seite bekannt ist, ist auch der Radius bekannt.
Um den Radius (r) eines Sechsecks zu ermitteln, verwenden Sie die Formel: r = a · √3 / 2 und umgekehrt a = r * 2 / √3.
Sechseckumfang und -radius
Manche Menschen könnten durch die Tatsache verwirrt sein, dass ein Sechseck nicht nur einen Radius, sondern zwei Radien hat. Die Tatsache, dass es sich hierbei um die Radien von Kreisen handelt, die alle Eckpunkte und alle Mittelpunkte auf den Seiten eines Sechsecks enthalten, ist oft wichtig bei der Lösung geometrischer Aufgaben im Zusammenhang mit Sechsecken.
Der Umfangsradius ist der Radius des Kreises, der alle Eckpunkte des Sechsecks umfasst. In einem regelmäßigen Sechseck ist seine Länge genau gleich der Länge seiner Seite (R = a).
Der Radius ist der Radius des größten Kreises, der vollständig im Sechseck enthalten sein kann, und ist gleichzeitig der Scheitelpunkt des Sechsecks. Der Fernwinkel ist der Abstand zwischen der Mitte des Sechsecks und dem Mittelpunkt einer beliebigen Seite, die immer einen rechten Winkel bildet.
Beispiel für ein Problem mit der Sechseckgeometrie
Beispiel 1: Ermitteln Sie die Fläche eines Sechsecks, vorausgesetzt, sein Umfang beträgt 12 cm.
Lösung: Dies lässt sich am einfachsten als zweistufige Aufgabe erledigen. Erstens, indem man weiß, dass P = 6 ·a, also a = P/6. Die Seitenlänge beträgt also 12 / 6 = 2 cm. Verwenden Sie dann die Flächengleichung des Sechsecks und berechnen Sie 2/3 ·√3 ·2 = 0,866 cm 2 (Quadratzentimeter).
Beispiel 2: Wenn Sie wissen, dass die lange Diagonale eines Sechsecks 10 Fuß beträgt, ermitteln Sie seine Fläche in Quadratmetern.
Lösung: Um den Bereich diagonal zu finden, teilen Sie die Aufgabe in zwei Schritte auf. Zuerst ermitteln wir die Länge der Seite des Sechsecks, die einfach die Diagonale geteilt durch zwei ist. Also a = 10 / 2 = 5 Fuß. Mithilfe der Flächenformel ermitteln wir dann 2/3 ·√3 ·5 = 16,2380 ft 2 (Quadratfuß). Wenn wir schließlich Quadratfuß in Quadratmeter umrechnen, erhalten wir 1,5086 m 2 oder etwa eineinhalb Quadratmeter
Beispiel 3: Wie groß ist die Fläche eines Sechsecks mit der Seite 1?
Antwort: Diese Aufgabe lässt sich direkt mit der Sechseckflächenformel lösen. Wenn die Seiten einen Zoll lang sind, multiplizieren Sie zum Ermitteln der Fläche 2/3 mit √3 und dann 1: 2/3 ·√3 ·1 = sqrt(3) / 4 = 0,433 Quadratzoll, da die Quadratwurzel von 3 ist 1.732051.
Praktische Anwendungen von Sechsecken
Sechsecke und vor allem Quadrate haben viele Anwendungen sowohl in der Natur als auch in künstlichen Objekten. Jeder kennt das Wabenmuster von Wabenstrukturen. Weniger bekannt ist das Insektenauge, das typischerweise aus vielen zusammengeballten sechsseitigen Photorezeptoren besteht. Auch fotografische Objektive sowie in der Astronomie verwendete Teleskopobjektive spiegeln dieses Design wider und bestehen aus vielen Sechsecken. Ein bemerkenswertes Beispiel ist das James Webb-Weltraumteleskop.
Es gibt mehrere Gründe, die die Beliebtheit der sechseckigen Form erklären. Erstens hat das regelmäßige sechsseitige Sechseck unter den oberflächengefüllten Polygonen den kleinsten Umfang pro Flächeneinheit, was bedeutet, dass weniger Material benötigt wird, um eine Struktur oder ein Element zu bauen, das eine Fläche überspannt. Darüber hinaus verteilt der 120°-Winkel die Kräfte (mechanische und Zugspannungen) gleichmäßig auf die angrenzenden Seiten, wodurch die sechseckige Struktur stabil und effizient wird. Aus diesem Grund werden hexagonale Taschenrechner häufig in technischen Anwendungen eingesetzt. Schließlich können viele regelmäßige Sechsecke eine Oberfläche ohne Lücken zwischen ihnen füllen, eine Eigenschaft, die sie mit einigen anderen Formen, einschließlich regelmäßiger Dreiecke und Quadrate, gemeinsam hat.